Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 90 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 95%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 690 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 90 kWη = 95%cos φ = 0,88V_L = 690 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 4:1 прикладено 920 V. До вторинної обмотки підключено резистор 4 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 920 VR_L = 4 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1500 W і втрати в міді 4500 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 4500 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 5 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 5 kWpf = 0,65V = 240 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 20 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 330 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 20 kWpf₁ = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 330 µF

cos φ =

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 80 ΩC = 22 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,8 V·s/rad працює від 220 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 220 Vk = 0,8 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 1,5 V·s/rad при повному полі, R_a = 1 Ω, V = 220 V) приводить навантаження зі сталим моментом 15 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 70 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 220 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 1 ΩT = 15 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 90,08 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 90/0,95 = 94,74 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 94737/(√3·690·0,88) = 90,08 A

Відповідь

I_L = 90,08 A

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 42,87 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,7) = 80·1,02 = 81,62 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 42,87 kvar

Відповідь

Q_C = 42,87 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 14,38 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 920/4 = 230 V

I₂ = 230/4 = 57,5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 14,38 A

Відповідь

I₁ = 14,38 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 64 Ω, і 920/64 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 144,3 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·4500 = 1500 → x = √(1500/4500) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5774·250 = 144,3 kVA

Відповідь

S_η,max = 144,3 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 32,05 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 5000/(240·0,65) = 32,05 A

Відповідь

I = 32,05 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,8752

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 20·tan(arccos 0,75) = 17,64 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·330·10⁻⁶ = 6581 var = 6,581 kvar

Q₂ = 17,64 − 6,581 = 11,06 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(20² + 11,06²) = 22,85 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S₂ = 20/22,85 = 0,8752

Відповідь

cos φ = 0,8752

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,3617

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 7,54 Ω, X_C = 265,3 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (−257,7)²) = 276,4 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 100/276,4 = 0,3617

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,3617

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,644 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 35,99 − j39,8 Ω

Повний опір

Z = 10 + 35,99 − j39,8 = 45,99 − j39,8 Ω

|Z| = √(45,99² + 39,8²) = 60,82 Ω

Струм

I = V/|Z| = 100/60,82 = 1,644 A

Відповідь

I = 1,644 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 2626 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 220/0,8 = 275 rad/s

n₀ = 60·275/(2π) = 2626 rpm

Відповідь

n₀ = 2626 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1871 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,7·1,5 = 1,05 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 15/1,05 = 14,29 A

Нова швидкість

ω = (220 − 14,29·1)/1,05 = 195,9 rad/s → n = 1871 rpm

Відповідь

n = 1871 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems