Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 80 A від мережі з лінійною напругою 690 V. Коефіцієнт потужності 0,92, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 690 VI_L = 80 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Підсилювач з вихідним опором 256 Ω живить гучномовець 4 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 256 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

R_s = 256 ΩR_L = 4 Ω

a =

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 2000 W і втрати в міді 6000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 6000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним) і навантаження 17 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP₁ = 12 kW, pf₁ = 0,8 відстаючийP₂ = 17 kW, pf₂ = 0,85 відстаючий

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 150 kVA живить навантаження 65 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 65 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 1 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 500 HzL = 1 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 50 ΩC = 22 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,3 N·m/A і R_a = 1 Ω під’єднано до 48 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 48 Vk = 0,3 N·m/AR_a = 1 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Малий двигун постійного струму має опір якоря 0,5 Ω і працює від 48 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність P_max, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 48 VR_a = 0,5 Ω

P_max = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 87,96 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·690·80 = 95,61 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 95,61·0,92 = 87,96 kW

Відповідь

P = 87,96 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 102,7 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 102,7 kvar

Відповідь

Q_C = 102,7 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: a = 8

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·4 = 256

a = √(256/4) = √64 = 8

Відповідь

a = 8

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 144,3 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·6000 = 2000 → x = √(2000/6000) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5774·250 = 144,3 kVA

Відповідь

S_η,max = 144,3 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,8294

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 12·tan(arccos 0,8) = 9 kvar

Q₂ = 17·tan(arccos 0,85) = 10,54 kvar

Сумарні значення

P = 12 + 17 = 29 kW

Q = 9 + 10,54 = 19,54 kvar

S = √(29² + 19,54²) = 34,97 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 29/34,97 = 0,8294 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,8294

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 69,55 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 65·tan(arccos 0,7) = 66,31 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 66,31²) = 134,5 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 134,5 − 65 = 69,55 kW

Відповідь

ΔP = 69,55 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 101,3 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,001) = 101,3 µF

Відповідь

C = 101,3 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1765 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,84 − j23,39 Ω

Повний опір

Z = 30 + 33,84 − j23,39 = 63,84 − j23,39 Ω

|Z| = √(63,84² + 23,39²) = 67,99 Ω

Струм

I = V/|Z| = 12/67,99 = 0,1765 A

Відповідь

I = 0,1765 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 14,4 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 48/1 = 48 A

Стопорний момент

T_stall = 0,3·48 = 14,4 N·m

Відповідь

T_stall = 14,4 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: P_max = 1152 W

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Максимальна потужність

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·0,5) = 1152 W

Відповідь

P_max = 1152 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems