Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,8, відстаючий. Лінійна напруга мережі 690 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 90%cos φ = 0,8V_L = 690 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 150 kVA, 11000/400 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 150 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1250 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 96,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 250 kVAP_core = 1250 Wpf = 0,9η = 96,5%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 24 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) і нагрівач потужністю 7 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 24 kW, pf₁ = 0,75 відстаючийP₂ = 7 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 45 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 1 mH і C = 0,047 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 50 ΩL = 1 mHC = 0,047 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 8 A від джерела 24 V. Його опір якоря — 0,25 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 14 W. Знайдіть його ККД η.

V = 24 VI_a = 8 AR_a = 0,25 ΩP_rot = 14 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 0,12 V·s/rad при повному полі, R_a = 1,2 Ω, V = 48 V) приводить навантаження зі сталим моментом 0,24 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 85 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 48 Vk = 0,12 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 0,24 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 8,716 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,9 = 8,333 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8333/(√3·690·0,8) = 8,716 A

Відповідь

I_L = 8,716 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 381 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,75) = 150·0,8819 = 132,3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 68,39 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 22796/(377·398,4²) = 381 µF

Відповідь

C_ph = 381 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 375 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 150000/400 = 375 A

Відповідь

I_LV = 375 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 6911 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 250·0,9 = 225 kW

P_in = 225000/0,965 = 233161 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 233161 − 225000 = 8161 W

P_cu,fl = 8161 − 1250 = 6911 W

Відповідь

P_cu,fl = 6911 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,8259

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 24·tan(arccos 0,75) = 21,17 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 24 + 7 = 31 kW

Q = 21,17 + 0 = 21,17 kvar

S = √(31² + 21,17²) = 37,54 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 31/37,54 = 0,8259 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,8259

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 197,4 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 24,9 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 45000/(240·0,95) = 197,4 A

Відповідь

I_new = 197,4 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −79,36 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−106,5)²) = 108,3 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−106,5/20) = −79,36°

Відповідь

φ = −79,36°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 7958 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,001/(0,047·10⁻⁶)) = 2,917

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 23215/2,917 = 7958 Hz

Відповідь

B = 7958 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 84,38 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 24·8 = 192 W

P_dev = 22·8 = 176 W

P_out = 176 − 14 = 162 W

ККД

η = 162/192·100 = 84,38 %

Відповідь

η = 84,38 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 4229 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,85·0,12 = 0,102 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 0,24/0,102 = 2,353 A

Нова швидкість

ω = (48 − 2,353·1,2)/0,102 = 442,9 rad/s → n = 4229 rpm

Відповідь

n = 4229 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems