Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 18,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 91%, а коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 18,5 kWη = 91%cos φ = 0,85V_L = 400 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 500 kVA, 11000/400 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 500 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 300 W і втрати в міді 900 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 75 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 12 A і 2304 W від однофазної мережі 240 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 240 VI = 12 AP = 2304 W

R = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 230 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Z_s = 2 + j5 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 230 V (rms)f = 60 HzZ_s = 2 + j5 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 2,2 µF має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 200 HzC = 2,2 µF

L = mH

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,3 N·m/A і R_a = 2 Ω під’єднано до 24 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 24 Vk = 0,3 N·m/AR_a = 2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження на 110 V (R_a = 1,5 Ω) обертається з 1000 rpm при струмі якоря 8 A. Навантаження змінюється, і струм стає 3,2 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n₂.

V = 110 VR_a = 1,5 Ωn₁ = 1000 rpmI_a1 = 8 AI_a2 = 3,2 A

n₂ = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 34,52 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 18,5/0,91 = 20,33 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20330/(√3·400·0,85) = 34,52 A

Відповідь

I_L = 34,52 A

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 178,3 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,7) = 300·1,02 = 306,1 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,92) = 300·0,426 = 127,8 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 178,3 kvar

Відповідь

Q_C = 178,3 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 45,45 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 500000/11000 = 45,45 A

Відповідь

I_HV = 45,45 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 43,3 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·900 = 300 → x = √(300/900) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5774·75 = 43,3 kVA

Відповідь

S_η,max = 43,3 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 16 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2304/12² = 16 Ω

Відповідь

R = 16 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 6613 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 2 − j5 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 230/4 = 57,5 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 230²/(4·2) = 6613 W

Відповідь

P_max = 6613 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 287,8 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·2,2·10⁻⁶) = 287,8 mH

Відповідь

L = 287,8 mH

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,09549 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (124,1)²) = 125,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/125,7 = 0,09549 A

Відповідь

I = 0,09549 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 3,6 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 24/2 = 12 A

Стопорний момент

T_stall = 0,3·12 = 3,6 N·m

Відповідь

T_stall = 3,6 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₂ = 1073 rpm

Зворотна ЕРС до і після

E₁ = 110 − 8·1,5 = 98 V

E₂ = 110 − 3,2·1,5 = 105,2 V

Нова швидкість

n₂ = 1000·105,2/98 = 1073 rpm

Відповідь

n₂ = 1073 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems