Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 90 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 91%, а коефіцієнт потужності 0,84, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 90 kWη = 91%cos φ = 0,84V_L = 415 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 25 kVA, 4800/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_HV в обмотці вищої напруги.

S = 25 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1000 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 98,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 200 kVAP_core = 1000 Wpf = 0,9η = 98,5%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 19 A і 1710 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 120 VI = 19 AP = 1710 W

R = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 100 kVA живить навантаження 35 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 100 kVAP₁ = 35 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 5 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,08 N·m/A, R_a = 0,2 Ω) працює від 24 V і приводить навантаження з моментом 0,64 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 24 Vk = 0,08 N·m/AR_a = 0,2 ΩT = 0,64 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 2 V·s/rad і R_a = 0,4 Ω має приводити навантаження 40 N·m при 600 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 2 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 40 N·mn = 600 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 163,8 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 90/0,91 = 98,9 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 98901/(√3·415·0,84) = 163,8 A

Відповідь

I_L = 163,8 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 1101 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,75) = 120·0,8819 = 105,8 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 66,39 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 22129/(377·230,9²) = 1101 µF

Відповідь

C_ph = 1101 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_HV = 5,208 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_HV = S/V = 25000/4800 = 5,208 A

Відповідь

I_HV = 5,208 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 1741 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 200·0,9 = 180 kW

P_in = 180000/0,985 = 182741 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 182741 − 180000 = 2741 W

P_cu,fl = 2741 − 1000 = 1741 W

Відповідь

P_cu,fl = 1741 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 4,737 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 1710/19² = 4,737 Ω

Відповідь

R = 4,737 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 61,49 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 35·tan(arccos 0,8) = 26,25 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 26,25²) = 96,49 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 96,49 − 35 = 61,49 kW

Відповідь

ΔP = 61,49 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −52,91 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−66,15)²) = 82,92 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−66,15/50) = −52,91°

Відповідь

φ = −52,91°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 1592 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,005/(0,47·10⁻⁶)) = 2,063

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 3283/2,063 = 1592 Hz

Відповідь

B = 1592 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2674 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 0,64/0,08 = 8 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 24 − 8·0,2 = 22,4 V

ω = E/k = 280 rad/s → n = 2674 rpm

Відповідь

n = 2674 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 133,7 V

Зворотна ЕРС

E = 2·62,83 = 125,7 V

Струм якоря

I_a = 40/2 = 20 A

Напруга якоря

V = 125,7 + 20·0,4 = 133,7 V

Відповідь

V = 133,7 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems