Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 16 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 400 VZ = 16 + j12 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 1200 V. До вторинної обмотки підключено резистор 24 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 150 W і втрати в міді 600 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 600 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 18 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 18 kWpf = 0,75V = 240 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 13 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 100 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 13 kWpf₁ = 0,6V = 240 Vf = 50 HzC = 100 µF

I = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 1 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,6 N·m/A, R_a = 0,25 Ω) працює від 120 V і приводить навантаження з моментом 15 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 120 Vk = 0,6 N·m/AR_a = 0,25 ΩT = 15 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Малий двигун постійного струму має опір якоря 2 Ω і працює від 24 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність P_max, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 24 VR_a = 2 Ω

P_max = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 6,4 kW

Фазна напруга

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 230,9/20 = 11,55 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·11,55²·16 = 6,4 kW

Відповідь

P = 6,4 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 552,3 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 107,6 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 35857/(377·415²) = 552,3 µF

Відповідь

C_ph = 552,3 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 2 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/24 = 10 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 2 A

Відповідь

I₁ = 2 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 600 Ω, і 1200/600 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 25 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·600 = 150 → x = √(150/600) = 0,5

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5·50 = 25 kVA

Відповідь

S_η,max = 25 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 15,87 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 18·0,8819 = 15,87 kvar

Відповідь

Q = 15,87 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 84,37 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 13·tan(arccos 0,6) = 17,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1810 var = 1,81 kvar

Q₂ = 17,33 − 1,81 = 15,52 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(13² + 15,52²) = 20,25 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 20248/240 = 84,37 A

Відповідь

I = 84,37 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3841 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−255,5)²) = 260,3 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/260,3 = 0,3841 A

Відповідь

I = 0,3841 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 67,86 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·22·10⁻⁶)) = 67,86 Hz

Відповідь

f₀ = 67,86 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1810 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 15/0,6 = 25 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 120 − 25·0,25 = 113,8 V

ω = E/k = 189,6 rad/s → n = 1810 rpm

Відповідь

n = 1810 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: P_max = 72 W

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Максимальна потужність

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·2) = 72 W

Відповідь

P_max = 72 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems