Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 45 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 95%, а коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 45 kWη = 95%cos φ = 0,9V_L = 400 V

I_L = A

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 25 kVA, 4160/480 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 25 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 900 W і втрати в міді 2250 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 150 kVAP_core = 900 WP_cu,fl = 2250 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 22 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 22 kWpf = 0,8V = 400 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 25 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 25 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 47 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 1 N·m/A, R_a = 2 Ω) працює від 120 V і приводить навантаження з моментом 4 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 120 Vk = 1 N·m/AR_a = 2 ΩT = 4 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 2 Ω) на сталій напрузі 220 V приводить навантаження 3 N·m. Знайдіть послідовний опір R_s, який зменшує його швидкість до 750 rpm.

V = 220 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 2 ΩT = 3 N·mn = 750 rpm

R_s = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 75,97 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 45/0,95 = 47,37 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 47368/(√3·400·0,9) = 75,97 A

Відповідь

I_L = 75,97 A

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 791,6 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,78) = 300·0,8023 = 240,7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 142,1 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 47360/(377·398,4²) = 791,6 µF

Відповідь

C_ph = 791,6 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 52,08 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 25000/480 = 52,08 A

Відповідь

I_LV = 52,08 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 94,87 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2250 = 900 → x = √(900/2250) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·150 = 94,87 kVA

Відповідь

S_η,max = 94,87 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 16,5 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 22·0,75 = 16,5 kvar

Відповідь

Q = 16,5 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 113,2 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(49,46°) = 29,23 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(23,07°) = 10,65 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 18,58 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(240·0,92) = 113,2 A

Відповідь

I_new = 113,2 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3157 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (311)²) = 316,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/316,7 = 0,3157 A

Відповідь

I = 0,3157 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 10,53 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (8,201)²) = 80,42 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/80,42 = 0,6217 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,6217·16,93 = 10,53 V

Відповідь

V_C = 10,53 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1070 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 4/1 = 4 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 120 − 4·2 = 112 V

ω = E/k = 112 rad/s → n = 1070 rpm

Відповідь

n = 1070 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_s = 32,58 Ω

Струм і зворотна ЕРС

I_a = 3/0,6 = 5 A

E = 0,6·78,54 = 47,12 V

Послідовний опір

R_a + R_s = (220 − 47,12)/5 = 34,58 Ω

R_s = 32,58 Ω

Відповідь

R_s = 32,58 Ω

Резистор розсіює 814,4 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems