Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 15 + j20 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 400 VZ = 15 + j20 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 120 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 150 kVA, 2400/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 150 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 1200 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому) його ККД становить 98,8%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 200 kVAP_core = 1200 Wpf = 0,85η = 98,8%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 28 kW при коефіцієнті потужності 0,85 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 28 kWpf = 0,85V = 240 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 100 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 12 kWpf₁ = 0,65V = 240 Vf = 50 HzC = 100 µF

cos φ =

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 1 µF має резонувати на частоті 5000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 5000 HzC = 1 µF

L = mH

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 5 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 1,2 N·m/A і R_a = 2 Ω під’єднано до 240 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 240 Vk = 1,2 N·m/AR_a = 2 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) від шини постійного струму 110 V. Середня напруга якоря дорівнює D·110 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 400 rpm з навантаженням 11,25 N·m.

V_dc = 110 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 11,25 N·mn = 400 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 11,52 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 400 V

Фазний струм

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·15 = 11,52 kW

Відповідь

P = 11,52 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 54,71 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,75) = 120·0,8819 = 105,8 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,71 kvar

Відповідь

Q_C = 54,71 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 625 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 150000/240 = 625 A

Відповідь

I_LV = 625 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 864,8 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 200·0,85 = 170 kW

P_in = 170000/0,988 = 172065 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 172065 − 170000 = 2065 W

P_cu,fl = 2065 − 1200 = 864,8 W

Відповідь

P_cu,fl = 864,8 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 137,3 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 28000/(240·0,85) = 137,3 A

Відповідь

I = 137,3 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7007

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 12·tan(arccos 0,65) = 14,03 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1810 var = 1,81 kvar

Q₂ = 14,03 − 1,81 = 12,22 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(12² + 12,22²) = 17,13 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S₂ = 12/17,13 = 0,7007

Відповідь

cos φ = 0,7007

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 1,013 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·1·10⁻⁶) = 1,013 mH

Відповідь

L = 1,013 mH

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 176,8 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 5/20 = 0,25 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 14142·0,05 = 707,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,25·707,1 = 176,8 V

Відповідь

V_L = 176,8 V

Це в Q = 35,36 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 144 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 240/2 = 120 A

Стопорний момент

T_stall = 1,2·120 = 144 N·m

Відповідь

T_stall = 144 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 31,97 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,75·41,89 + 15·0,25 = 35,17 V

Коефіцієнт заповнення

D = 35,17/110 = 31,97 %

Відповідь

D = 31,97 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems