Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 5 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 415 VZ = 5 + j12 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 1200 V. До вторинної обмотки підключено резистор 60 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 60 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 800 W і втрати в міді 2000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 3 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 3 kWpf = 0,6V = 240 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 47 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 10 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,1 N·m/A, R_a = 0,2 Ω) працює від 24 V і приводить навантаження з моментом 0,5 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 24 Vk = 0,1 N·m/AR_a = 0,2 ΩT = 0,5 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 2 V·s/rad при повному полі, R_a = 0,2 Ω, V = 240 V) приводить навантаження зі сталим моментом 80 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 75 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 240 Vk = 2 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 80 N·mΦ = 75 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 15,29 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 415 V

Фазний струм

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 415/13 = 31,92 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·31,92²·5 = 15,29 kW

Відповідь

P = 15,29 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,3846, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 35,43 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,08 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 6359/(377·690²) = 35,43 µF

Відповідь

C_ph = 35,43 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 0,8 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/60 = 4 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 0,8 A

Відповідь

I₁ = 0,8 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 1500 Ω, і 1200/1500 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 126,5 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2000 = 800 → x = √(800/2000) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,6325·200 = 126,5 kVA

Відповідь

S_η,max = 126,5 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 20,83 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 3000/(240·0,6) = 20,83 A

Відповідь

I = 20,83 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 739,2 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(49,46°) = 58,46 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 37,16 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 37157/(2π·50·400²) = 739,2 µF

Відповідь

C = 739,2 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,588 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (45,9)²) = 75,54 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/75,54 = 1,588 A

Відповідь

I = 1,588 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 12,65 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−208,7)²) = 209,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/209,7 = 0,04769 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,04769·265,3 = 12,65 V

Відповідь

V_C = 12,65 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2196 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 0,5/0,1 = 5 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 24 − 5·0,2 = 23 V

ω = E/k = 230 rad/s → n = 2196 rpm

Відповідь

n = 2196 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 1460 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,75·2 = 1,5 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 80/1,5 = 53,33 A

Нова швидкість

ω = (240 − 53,33·0,2)/1,5 = 152,9 rad/s → n = 1460 rpm

Відповідь

n = 1460 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems