Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M18,5 kW, η = 93%cos φ = 0,88

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 18,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 93%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм IL.

Pout = 18,5 kWη = 93%cos φ = 0,88VL = 400 V
IL = A
2.Трифазні системиСкладна
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаториСередня
10 Ω101

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 підключено резистор 10 Ω. Знайдіть опір R1′ з боку первинної обмотки.

N1:N2 = 10:1RL = 10 Ω
R1′ = Ω
4.ТрансформаториСкладна
pf 0,9575 kVA, η = 98,2%

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 300 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому) його ККД становить 98,2%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні Pcu,fl у ватах.

S = 75 kVAPcore = 300 Wpf = 0,95η = 98,2%
Pcu,fl = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 1 kWQ = ?Sφ

Однофазний двигун споживає 1 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 1 kWpf = 0,75V = 230 V
Q = kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
10 V50 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

Джерело 10 V (діюче значення), 50 Hz має внутрішній опір Zs = 2 + j30 Ω. Опір навантаження ZL можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність Pmax, яку можна передати навантаженню.

Vs = 10 V (rms)f = 50 HzZs = 2 + j30 Ω
Pmax = W
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 50 HzRL = 1 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 1 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 50 HzL = 1 mH
C = µF
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
12 V500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF+−VC​

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF
VC = V
9.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Двигун постійного струму з k = 0,3 N·m/A і Ra = 2 Ω під’єднано до 48 V. Знайдіть його стопорний момент Tstall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 48 Vk = 0,3 N·m/ARa = 2 Ω
Tstall = N·m
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−110 VRa​ = 3 ΩM+−EωT

Малий двигун постійного струму має опір якоря 3 Ω і працює від 110 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 110 VRa = 3 Ω
Pmax = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: IL = 32,63 A

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Електрична вхідна потужність

Pin = Pout/η = 18,5/0,93 = 19,89 kW

Струм лінії

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19892/(√3·400·0,88) = 32,63 A

Відповідь

IL = 32,63 A
2.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 213,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 95,91 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31969/(314,2·690²) = 213,7 µF

Відповідь

Cph = 213,7 µF
3.Трансформатори

Відповідь: R1′ = 1000 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R1′ = a²·RL = 10²·10 = 1000 Ω

Відповідь

R1′ = 1000 Ω
4.Трансформатори

Відповідь: Pcu,fl = 1006 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

Pout = 75·0,95 = 71,25 kW
Pin = 71250/0,982 = 72556 W

Сумарні втрати й втрати в міді

Ploss = 72556 − 71250 = 1306 W
Pcu,fl = 1306 − 300 = 1006 W

Відповідь

Pcu,fl = 1006 W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 0,8819 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 1·0,8819 = 0,8819 kvar

Відповідь

Q = 0,8819 kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Pmax = 12,5 W

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

ZL = Zs* = 2 − j30 Ω

Максимальна потужність

I = Vs/(2Rs) = 10/4 = 2,5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 10²/(4·2) = 12,5 W

Відповідь

Pmax = 12,5 W
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 10132 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,001) = 10132 µF

Відповідь

C = 10132 µF
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VC = 0,06091 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (625,1)²) = 627,1 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/627,1 = 0,01913 A

Напруга на конденсаторі

VC = I·XC = 0,01913·3,183 = 0,06091 V

Відповідь

VC = 0,06091 V
9.Двигуни постійного струму

Відповідь: Tstall = 7,2 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

Ia = V/Ra = 48/2 = 24 A

Стопорний момент

Tstall = 0,3·24 = 7,2 N·m

Відповідь

Tstall = 7,2 N·m
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Pmax = 1008 W

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

Максимальна потужність

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·3) = 1008 W

Відповідь

Pmax = 1008 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems