Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VIL​ = 60 Acos φ = 0,9відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 60 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 400 VIL = 60 Acos φ = 0,9
P = kW
2.Трифазні системиСкладна
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 75 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 75 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.ТрансформаториСередня
50 ΩN1​N2​5000 Ω

Підсилювач з вихідним опором 5000 Ω живить гучномовець 50 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 5000 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

Rs = 5000 ΩRL = 50 Ω
a =
4.ТрансформаториСкладна
pf 0,85150 kVA, 25% навантаження

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 900 W і втрати в міді 1350 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,85 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 150 kVAPcore = 900 WPcu,fl = 1350 Wx = 0,25pf = 0,85
Ploss = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 27 kWQ = ?Sφ

Однофазний двигун споживає 27 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 27 kWpf = 0,6V = 400 V
Q = kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
240 V50 Hzнавантаження10 kW, 0,7C68 µFI

Однофазне навантаження споживає 10 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 68 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 10 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 50 HzC = 68 µF
cos φ =
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 200 HzRL = 100 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 100 mH має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 200 HzL = 100 mH
C = µF
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
10 V100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V
9.Двигуни постійного струмуСередня
+−110 VRa​ = 1 ΩIa​ = 5 AM+−EωT

Двигун постійного струму споживає 5 A від джерела 110 V. Його опір якоря — 1 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 21 W. Знайдіть його ККД η.

V = 110 VIa = 5 ARa = 1 ΩProt = 21 W
η = %
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−110 VRst​ = ?Ra​ = 1 Ω80 AM+−E = 0n = 0T

Двигун постійного струму на 110 V має опір якоря 1 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір Rst, який обмежує пусковий струм до 80 A.

V = 110 VRa = 1 ΩImax = 80 A
Rst = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 37,41 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·400·60 = 41,57 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 41,57·0,9 = 37,41 kW

Відповідь

P = 37,41 kW
2.Трифазні системи

Відповідь: QC = 44,57 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0,7) = 75·1,02 = 76,52 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 44,57 kvar

Відповідь

QC = 44,57 kvar
3.Трансформатори

Відповідь: a = 10

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·50 = 5000
a = √(5000/50) = √100 = 10

Відповідь

a = 10
4.Трансформатори

Відповідь: Ploss = 984,4 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·1350 = 84,38 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 900 + 84,38 = 984,4 W

Відповідь

Ploss = 984,4 W

ККД при цьому навантаженні η = 97%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 36 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 27·1,333 = 36 kvar

Відповідь

Q = 36 kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7443

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = 10·tan(arccos 0,7) = 10,2 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·68·10⁻⁶ = 1230 var = 1,23 kvar
Q2 = 10,2 − 1,23 = 8,972 kvar

Нова повна потужність

S2 = √(10² + 8,972²) = 13,43 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S2 = 10/13,43 = 0,7443

Відповідь

cos φ = 0,7443
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 6,333 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,1) = 6,333 µF

Відповідь

C = 6,333 µF
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VC = 8,407 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (84,74)²) = 86,05 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/86,05 = 0,1162 A

Напруга на конденсаторі

VC = I·XC = 0,1162·72,34 = 8,407 V

Відповідь

VC = 8,407 V
9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 91,64 %

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

Pin = 110·5 = 550 W
Pdev = 105·5 = 525 W
Pout = 525 − 21 = 504 W

ККД

η = 504/550·100 = 91,64 %

Відповідь

η = 91,64 %
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Rst = 0,375 Ω

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Повний опір

Ra + Rst = 110/80 = 1,375 Ω

Пусковий резистор

Rst = 1,375 − 1 = 0,375 Ω

Відповідь

Rst = 0,375 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems