Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 20 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 20 Acos φ = 0,82

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 2:1 прикладено 240 V. До вторинної обмотки підключено резистор 6 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 6 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 200 W і втрати в міді 500 W при номінальному навантаженні. Він віддає 75% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 50 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 500 Wx = 0,75pf = 0,9

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 29 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 29 kWpf = 0,7V = 240 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 100 V (діюче значення), 1000 Hz має внутрішній опір Z_s = 5 + j3 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Навантаження для максимальної потужності складається з резистора, послідовно з’єднаного з конденсатором. Знайдіть ємність C.

V_s = 100 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 5 + j3 Ω

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,8 N·m/A і R_a = 0,8 Ω під’єднано до 240 V. Знайдіть його стопорний момент T_stall, тобто момент при нульовій швидкості.

V = 240 Vk = 0,8 N·m/AR_a = 0,8 Ω

T_stall = N·m

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) від шини постійного струму 120 V. Середня напруга якоря дорівнює D·120 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 400 rpm з навантаженням 6 N·m.

V_dc = 120 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 6 N·mn = 400 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 11,36 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·20 = 13,86 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 13,86·0,82 = 11,36 kW

Відповідь

P = 11,36 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 237,8 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 43,03 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14343/(377·400²) = 237,8 µF

Відповідь

C_ph = 237,8 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 10 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/6 = 20 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 10 A

Відповідь

I₁ = 10 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 24 Ω, і 240/24 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 481,3 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·500 = 281,3 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 200 + 281,3 = 481,3 W

Відповідь

P_loss = 481,3 W

ККД при цьому навантаженні η = 98,59%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 29,59 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 29·1,02 = 29,59 kvar

Відповідь

Q = 29,59 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 53,05 µF

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 5 − j3 Ω

Ємність

X_C = 3 Ω → C = 1/(2π·1000·3) = 53,05 µF

Відповідь

C = 53,05 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −75,74 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−236,1)²) = 243,6 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−236,1/60) = −75,74°

Відповідь

φ = −75,74°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 152,4 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−566,4)²) = 569,5 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/569,5 = 0,2107 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,2107·723,4 = 152,4 V

Відповідь

V_C = 152,4 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T_stall = 240 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Стопорний струм

I_a = V/R_a = 240/0,8 = 300 A

Стопорний момент

T_stall = 0,8·300 = 240 N·m

Відповідь

T_stall = 240 N·m

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 25,11 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,6·41,89 + 10·0,5 = 30,13 V

Коефіцієнт заповнення

D = 30,13/120 = 25,11 %

Відповідь

D = 25,11 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems