Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 10 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 10 Acos φ = 0,9

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 120 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 2300 V. До вторинної обмотки підключено резистор 4 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 4 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 150 W і втрати в міді 450 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 450 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 10 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) і нагрівач потужністю 25 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 400 VP₁ = 10 kW, pf₁ = 0,6 відстаючийP₂ = 25 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 25 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 25 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 12 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

V_L = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,6 V·s/rad працює від 240 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 240 Vk = 0,6 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) від шини постійного струму 240 V. Середня напруга якоря дорівнює D·240 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 750 rpm з навантаженням 15 N·m.

V_dc = 240 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 15 N·mn = 750 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 6,235 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·10 = 6,928 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 6,928·0,9 = 6,235 kW

Відповідь

P = 6,235 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 76,22 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 76,22 kvar

Відповідь

Q_C = 76,22 kvar

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 5,75 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/4 = 57,5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 5,75 A

Відповідь

I₁ = 5,75 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 400 Ω, і 2300/400 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 28,87 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·450 = 150 → x = √(150/450) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5774·50 = 28,87 kVA

Відповідь

S_η,max = 28,87 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 93,63 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 10·tan(arccos 0,6) = 13,33 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 10 + 25 = 35 kW

Q = 13,33 + 0 = 13,33 kvar

S = √(35² + 13,33²) = 37,45 kVA

Загальний струм

I = S/V = 37454/400 = 93,63 A

Відповідь

I = 93,63 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 118,1 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(36,87°) = 18,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(23,07°) = 10,65 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8,1 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(230·0,92) = 118,1 A

Відповідь

I_new = 118,1 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,4251

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 31,42 Ω, X_C = 159,2 Ω

Повний опір

|Z| = √(60² + (−127,7)²) = 141,1 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 60/141,1 = 0,4251

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,4251

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 49,51 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,47·10⁻⁶) = 10314 rad/s

I = V/R = 12/50 = 0,24 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 10314·0,02 = 206,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,24·206,3 = 49,51 V

Відповідь

V_L = 49,51 V

Це в Q = 4,126 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 3820 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 240/0,6 = 400 rad/s

n₀ = 60·400/(2π) = 3820 rpm

Відповідь

n₀ = 3820 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 21,36 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,5·78,54 + 30·0,4 = 51,27 V

Коефіцієнт заповнення

D = 51,27/240 = 21,36 %

Відповідь

D = 21,36 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems