У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (−15, −30, 20) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−3, −5, −1) до точки B(−5, 4, −5). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (−15, −30, 20) NA(−3, −5, −1) mB(−5, 4, −5) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−3, −1, 0) і b = (0, 1, −2) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂x.
a = (−3, −1, 0)b = (0, 1, −2)n̂z > 0
n̂x =
3.Опорні реакції балокСередня
Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 3 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію RA у стіні.
L = 10 mP = 80 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 10 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 5,5 m від A під кутом 60° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 1,5 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.
L = 6 mP = 35 kN у 5,5 m, θ = 60°Q = 15 kN у 1,5 m
α = °
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 10 kN ↓C: 35 kN ↓G: 25 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 40 kN ↓F: 30 kN ↓H: 25 kN ↓H: 10 kN ←
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
7.Рами та механізмиСередня
Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,75 м нижче від A. У B висить вантаж 12 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.
P = 12 kNAD = 2 mAB = 2,5 mAC = 0,75 m
A = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 8 м одна від одної, а B розташований на висоті 4 м і на 3,6 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 4 кН у K на 1,44 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 6 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції Ax у A.
P = 4 kNQ = 6 kNL = 8 mH = 4 mгоризонтальна відстань від A до B = 3,6 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,44 m
Ax = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент Mx під силою P1. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6 mP1 = 70 kN у 3 mP2 = 20 kN у 6 mопори в x = 0 і x = 5 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 4 mP = 40 kN у 1 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Пластина 100 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 240 mmвиріз: 30 × 50 mmцентр отвору: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Розчини
1.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: W = −320 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (−5, 4, −5) − (−3, −5, −1) = (−2, 9, −4) m
Робота
W = F·d = (−15)·(−2) + (−30)·9 + 20·(−4) = −320 J
Відповідь
W = −320 J
Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: n̂x = −0,2857
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·(−2) − 0·1 = 2
(a × b)y = azbx − axbz = 0·0 − (−3)·(−2) = −6
(a × b)z = axby − aybx = (−3)·1 − (−1)·0 = −3
Нормування
z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).
|a × b| = √(2² + (−6)² + (−3)²) = 7
n̂ = −(2, −6, −3)/7 = (−0,2857, 0,8571, 0,4286)
n̂x = −0,2857
Відповідь
n̂x = −0,2857
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 120 kN
Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.
Рівнодійна розподіленого навантаження
W = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m
Рівновага по вертикалі
RA = P + W = 80 + 40 = 120 kN
Відповідь
RA = 120 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: α = 38,21 °
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол D
CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Сила в розкосі
FCD = 12·2,5/(0,3511·2) = 42,72 kN
Складові в A
Ax = FCD·cos α = 40 kN (до стіни)
Ay = 12 − FCD·sin α = −3 kN
Модуль
A = √(40² + −3²) = 40,11 kN
Відповідь
A = 40,11 kN
Від’ємне Ay означає, що стіна тягне балку вниз у A.
8.Рами та механізми
Відповідь: Ax = 1,908 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Напрям BC
BC = 5,946 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727
Уся рама: моменти відносно A
FBC·0,6727·8 = 4·1,44 + 6·4
FBC = 5,53 kN
Горизонтальний баланс
Ax + 6 − 5,53·0,7399 = 0
Ax = −1,908 kN → |Ax| = 1,908 kN
Відповідь
Ax = 1,908 kN
Знак мінус означає, що Ax напрямлена ліворуч.
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 72 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.
ΣMA = 0: RB·5 = 70·3 + 20·6
RB = 330/5 = 66 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 66 = 24 kN
Переріз під P1, залишаємо ліву частину
Mx = RA·3 = 24·3 = 72 kN·m
Відповідь
Mx = 72 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 36 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 4·4·2
RB = 72/4 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 18 = 38 kN
Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 38·1 − 4·1·0,5 = 36 kN·m
Відповідь
Mx = 36 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 30,5 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
стінка: Aw = 8·240 = 1920 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (24000·120 − 1500·96)/(24000 − 1500) = 121,6 mm