Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (5, 4, −3) і b = (0, −1, −6) у градусах.

a = (5, 4, −3)b = (0, −1, −6)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (1, 0, 5) і b = (−6, −5, 6) знайдіть y-компоненту (a × b)_y векторного добутку a × b.

a = (1, 0, 5)b = (−6, −5, 6)

(a × b)_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP₁ = 55 kN у 2,5 mP₂ = 55 kN у 4 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 1 m від A під кутом 45° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 6 mP = 65 kN у 1 m, θ = 45°Q = 70 kN у 3,5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 60 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 8 м одна від одної, а B розташований на 4 м над землею і на 4,8 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 8 кН діє на стрижень AB у K на 1,2 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 8 kNL = 8 mH = 4 mгоризонтальна відстань від A до B = 4,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,2 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3,6 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 1,8 м. У C діє горизонтальна сила 2 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 2 kNAB = 3 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1,8 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань x_c від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 9,5 mw = 6 kN/m від 0 до 9,5 mопори в x = 0 і x = 8 m

x_c = m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 250 mm і товщиною 22 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 100 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 250 mmH = 380 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 71 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 5·0 + 4·(−1) + (−3)·(−6) = 14

Модулі

|a| = √(5² + 4² + (−3)²) = 7,071

|b| = √(0² + (−1)² + (−6)²) = 6,083

Кут

cos θ = 14/(7,071·6,083) = 0,3255

θ = arccos(0,3255) = 71°

Відповідь

θ = 71°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_y = −36

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·6 − 5·(−5) = 25

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−6) − 1·6 = −36

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−5) − 0·(−6) = −5

Потрібна компонента

(a × b)_y = −36

Відповідь

(a × b)_y = −36

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 38,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2,5 + 55·4

R_B = 357,5/5 = 71,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 71,5 = 38,5 kN

Відповідь

R_A = 38,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 81,64 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 65·sin 45° = 45,96 kN

P_h = 65·cos 45° = 45,96 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45,96·1 + 70·3,5 → R_B = 48,49 kN

A_y = 45,96 + 70 − 48,49 = 67,47 kN

A_x = P_h = 45,96 kN

Повна реакція в A

R_A = √(45,96² + 67,47²) = 81,64 kN

Відповідь

R_A = 81,64 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −15,63 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12,5 = 37,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,8 = −15,63 kN

Відповідь

F_BC = −15,63 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 20 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 + 20·3 → C_y = 60 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 60 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол C

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −60/0,9487 = −63,25 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−63,25)·0,3162 = 20 kN

Відповідь

F_AC = 20 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 1,537 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(3,2² + 4²) = 5,122 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(4/5,122)·8 = 8·1,2

F_BC = 1,537 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 1,537 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 2 kN

Уся рама: моменти відносно A

B_y·3 = 2·3,6

B_y = 2,4 kN

Нога BC: моменти відносно C

2,4·1,5 = T·1,8

T = 2 kN

Відповідь

T = 2 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 40 kN, R₂ = 40 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 37,5, M_C = 70, M_D = 97,5 kN·m, M_E = 70, M_F = 37,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 97,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x_c = 7,719 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·9,5 = 57 kN, прикладена в x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9,5·4,75

R_B = 270,8/8 = 33,84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33,84 = 23,16 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·23,16/6 = 7,719 m

Відповідь

x_c = 7,719 m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 55,35 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

стінка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·252,5 + 3360·120)/9860 = 207,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·25³/12 + 6500·(252,5 − 207,3)² = 1,359 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 207,3)² = 4,176 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,359 × 10⁷ + 4,176 × 10⁷ = 5,535 × 10⁷ mm⁴ = 55,35 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 55,35 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 48,61 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 380 − 2·22 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·380³ − 238·336³)/12

I_x = 3,908 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 190 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·190/3,908 × 10⁸ = 48,61 MPa

Відповідь

σ_max = 48,61 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics