Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−7, 5, 0) і b = (−2, −7, 2).

a = (−7, 5, 0)b = (−2, −7, 2)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−1, 5, 2) і b = (−1, 0, −1) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (−1, 5, 2)b = (−1, 0, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 2,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 10 kN у 1,5 mP₂ = 75 kN у 4 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 1,5 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 3 mAD = 6 mP = 60 kN у 4 mw = 10 kN/m від 3 до 6 mQ = 45 kN у 1,5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 10 kN ↓C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 50 Н у A (на 120 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 75 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра F_O.

F = 50 NOA = 120 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.Рами та механізмиСкладна

Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 100 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 5 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 4000 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.

Q = 4000 NAB = BC = 100 mmh = 5 mm

F = N

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 6 kN/m від 0 до 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

L = 5 mP = 50 kN у 3 mw = 8 kN/m від 0 до 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 250 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 300 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 250 mmH = 300 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = −21

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−7)·(−2) + 5·(−7) + 0·2 = 14 + (−35) + 0 = −21

Відповідь

a·b = −21

Від’ємний: кут між векторами більший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = −0,6509

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−1) − 2·0 = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−1) − (−1)·(−1) = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·0 − 5·(−1) = 5

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √((−5)² + (−3)² + 5²) = 7,681

n̂ = (−5, −3, 5)/7,681 = (−0,6509, −0,3906, 0,6509)

n̂_x = −0,6509

Відповідь

n̂_x = −0,6509

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = −41 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 10·1,5 + 75·4

R_B = 315/2,5 = 126 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 10 + 75 − 126 = −41 kN

Відповідь

R_A = −41 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 232,5 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 10·3 = 30 kN у 1,5 m від C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 60·1 + 30·1,5

R_D = 35 kN

V_C = 90 − 35 = 55 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 45 + 55 = 100 kN

M_A = 45·1,5 + 55·3 = 232,5 kN·m

Відповідь

M_A = 232,5 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 51,25 kN (T), BC: 51,25 kN (T), CD: 63,75 kN (T), DE: 63,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 72,48 kN (C), HE: 90,16 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 15,91 kN (T), HC: 1,768 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −21,24 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 − 5·4 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6 = 19 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −19/0,8944 = −21,24 kN

Відповідь

F_AB = −21,24 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_O = 94,34 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 50·120/75 = 80 N

Реакція шарніра

O_x = 80 N, O_y = 50 N

F_O = √(80² + 50²) = 94,34 N

Відповідь

F_O = 94,34 N

8.Рами та механізми

Відповідь: F = 400,5 N

Кут ланки

sin θ = 5/100 = 0,05, θ = 2,866°

Сила в ланці

F_link = Q/cos θ = 4005 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 400,5 N

Відповідь

F = 400,5 N

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 27 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 18·3 − 6·3·1,5 = 27 kN·m

Відповідь

M_x = 27 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 84 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 8·5·2,5

R_B = 250/5 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 50 = 40 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 40·3 − 8·3·1,5 = 84 kN·m

Відповідь

M_x = 84 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 1067 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 300 − 2·14 = 272 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·300³ − 240·272³)/12

I_x = 1,6 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 150 mm

S_x = I/c = 1,6 × 10⁸/150

S_x = 1,067 × 10⁶ mm³ = 1067 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 1067 × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 312 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

стінка: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·135 + 1920·60)/9720 = 120,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·30³/12 + 7800·(135 − 120,2)² = 2,297 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·120³/12 + 1920·(60 − 120,2)² = 9,259 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,297 × 10⁶ + 9,259 × 10⁶ = 1,156 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 120,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·120,2/1,156 × 10⁷ = 312 MPa

Відповідь

σ_низ = 312 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics