Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (−10, 25, 5) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−5, −1, 2) до точки B(−2, −2, 0). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (−10, 25, 5) NA(−5, −1, 2) mB(−2, −2, 0) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (−2, −4, 3) і b = (4, −3, 1) знайдіть x-компоненту (a × b)_x векторного добутку a × b.

a = (−2, −4, 3)b = (4, −3, 1)

(a × b)_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 15 kN/m у B. Також на відстані 9 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 70 kN у 9 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 2 m до вільного кінця в 4 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3 mAC = 4 mP = 15 kN у 0,5 mw = 2 kN/m від 2 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 15 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 2,4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1 м над землею. Вертикальне навантаження 20 кН діє на ногу AC у K на 0,75 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 20 kNAB = 2 mвисота C = 2,4 mвисота DE = 1 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,75 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 3 м вище від A. У B висить вантаж 6 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 6 kNW_b = 1,5 kNAB = 2 mAC = 3 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 2 kN/m від 0 до 4 mx = 0,5 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 55 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 100 × 24 mm, стінку висотою 280 mm і товщиною 10 mm та нижню полицю 300 × 24 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 100 × 24 mmстінка: 10 × 280 mmнижня полиця: 300 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = −65 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (−2, −2, 0) − (−5, −1, 2) = (3, −1, −2) m

Робота

W = F·d = (−10)·3 + 25·(−1) + 5·(−2) = −65 J

Відповідь

W = −65 J

Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_x = 5

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·1 − 3·(−3) = 5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·4 − (−2)·1 = 14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−3) − (−4)·4 = 22

Потрібна компонента

(a × b)_x = 5

Відповідь

(a × b)_x = 5

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 32 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·6,667 + 70·9

R_B = 113 kN

R_A = 145 − 113 = 32 kN

Відповідь

R_A = 32 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 12,5 kN

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·2 = 4 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 15·0,5 + 4·3

R_B = 19,5/3 = 6,5 kN

R_A = 19 − 6,5 = 12,5 kN

Відповідь

R_A = 12,5 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −12,37 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·4 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12 = 3 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,9701 = −12,37 kN

Відповідь

F_BC = −12,37 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −15,91 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·3 − 5·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3,75 = 11,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,25/0,7071 = −15,91 kN

Відповідь

F_AB = −15,91 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 5,357 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 20·0,75/2 = 7,5 kN

Нога BC: моменти відносно C

7,5·1 = T·1,4

T = 5,357 kN

Відповідь

T = 5,357 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 8,112 kN

Кут каната

BC = √(2² + 3²) = 3,606 m, sin β = 0,8321

Моменти відносно A

T·0,8321·2 = 6·2 + 1,5·1

T = 8,112 kN

Відповідь

T = 8,112 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 3 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 4 − 2·0,5 = 3 kN

Відповідь

V_x = 3 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 56 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 6·5·2,5

R_B = 130/5 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 26 = 59 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 59·1 − 6·1·0,5 = 56 kN·m

Відповідь

M_x = 56 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 18,07 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стінка: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·195 + 1440·90)/9840 = 179,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·30³/12 + 8400·(195 − 179,6)² = 2,613 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·180³/12 + 1440·(90 − 179,6)² = 1,546 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,613 × 10⁶ + 1,546 × 10⁷ = 1,807 × 10⁷ mm⁴ = 18,07 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 18,07 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 197,6 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2400 mm², y = 316 mm

стінка: A = 2800 mm², y = 164 mm

нижня полиця: A = 7200 mm², y = 12 mm

Центр ваги

ȳ = (2400·316 + 2800·164 + 7200·12)/12400 = 105,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 100·24³/12 + 2400·210,8² = 1,068 × 10⁸ mm⁴

стінка: 10·280³/12 + 2800·58,84² = 2,799 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 300·24³/12 + 7200·93,16² = 6,283 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,068 × 10⁸ + 2,799 × 10⁷ + 6,283 × 10⁷

I_x = 1,976 × 10⁸ mm⁴ = 197,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 197,6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics