Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (5, 2, 4) і b = (k, 1, 1) перпендикулярні.

a = (5, 2, 4)b = (k, 1, 1)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (2, −1, 5), b = (−2, −5, −4) і c = (3, −5, 1).

a = (2, −1, 5)b = (−2, −5, −4)c = (3, −5, 1)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP₁ = 60 kN у 1 mP₂ = 25 kN у 2 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 15 kN у 1,5 mw = 10 kN/m від 1 до 2 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,8 м нижче від A. У B висить вантаж 3 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 3 kNAD = 2 mAB = 4 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4,5 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 1,5 м. У C діє горизонтальна сила 2 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 2 kNAB = 4 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1,5 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP₁ = 60 kN у 1 mP₂ = 40 kN у 2,5 m

M_max = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань x_c від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 6 mw = 6 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 4 m

x_c = m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −1,2

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = 5·k + 2·1 + 4·1 = 0

6 + 5·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −6/5 = −1,2

Відповідь

k = −1,2

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 85

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·1 − (−4)·(−5) = −25

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·3 − (−2)·1 = −10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·(−5) − (−5)·3 = 25

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 2·(−25) + (−1)·(−10) + 5·25 = 85

V = |85| = 85

Відповідь

V = 85

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 57,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1 + 25·2

R_B = 110/4 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 27,5 = 57,5 kN

Відповідь

R_A = 57,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 9,375 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1,5 + 10·1·1,5

R_B = 37,5/4 = 9,375 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 9,375 = 15,63 kN

Відповідь

R_B = 9,375 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −13,98 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 → C_y = 6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,25/0,4472 = −13,98 kN

Відповідь

F_BC = −13,98 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 15,94 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 + 5·2 → C_y = 31,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 31,88 = 3,125 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол C

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −31,88/0,8944 = −35,64 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−35,64)·0,4472 = 15,94 kN

Відповідь

F_AC = 15,94 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 15,3 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 3·4/(0,3714·2) = 16,16 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (до стіни)

A_y = 3 − F_CD·sin α = −3 kN

Модуль

A = √(15² + −3²) = 15,3 kN

Відповідь

A = 15,3 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 1,5 kN

Уся рама: моменти відносно A

B_y·4 = 2·4,5

B_y = 2,25 kN

Нога BC: моменти відносно C

2,25·2 = T·3

T = 1,5 kN

Відповідь

T = 1,5 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 80 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 40·2,5

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 32 = 68 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1 = 68·1 = 68 kN·m

під P₂: M = R_B·2,5 = 32·2,5 = 80 kN·m

Найбільше значення

M_max = 80 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 80 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x_c = 3 m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·6·3

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 27 = 9 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9/6 = 3 m

Відповідь

x_c = 3 m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 97,43 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

стінка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·290 + 5600·140)/10800 = 212,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·20³/12 + 5200·(290 − 212,2)² = 3,163 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 212,2)² = 6,58 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,163 × 10⁷ + 6,58 × 10⁷ = 9,743 × 10⁷ mm⁴ = 97,43 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 97,43 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 12,78 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

стінка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·290 + 5600·140)/8800 = 194,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·20³/12 + 3200·(290 − 194,5)² = 2,926 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 194,5)² = 5,325 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,926 × 10⁷ + 5,325 × 10⁷ = 8,251 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 300 − 194,5 = 105,5 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·105,5/8,251 × 10⁷ = 12,78 MPa

Відповідь

σ_верх = 12,78 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics