Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|

Метод

  1. Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
  2. Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
  3. Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

  1. Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
  2. Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
  3. Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
  4. Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
xyzab

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−4, −5, 6) і b = (6, k, −1) перпендикулярні.

a = (−4, −5, 6)b = (6, k, −1)
k =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
xyzabc

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (1, 4, −2), b = (−5, −4, 0) і c = (2, −5, 2).

a = (1, 4, −2)b = (−5, −4, 0)c = (2, −5, 2)
V =
3.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 25 kNP2​ = 65 kNABCRB​ = ?7 m1 m2 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 8 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 8 mAC = 10 mP1 = 25 kN у 7 mP2 = 65 kN у 10 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
P = 60 kN, 50°Q = 30 kNABRA​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 4 m від A під кутом 50° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 1,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 5 mP = 60 kN у 4 m, θ = 50°Q = 30 kN у 1,5 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB40 kN4 m3 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 40 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH30 kN10 kN20 kN20 kN10 kN4 × 4 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

C: 30 kN ↓D: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓H: 10 kN ←
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
7.Рами та механізмиСередня
6 kN1,6 m2,4 m1,5 mABCD

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1,5 м нижче від A. У B висить вантаж 6 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 6 kNAD = 1,6 mAB = 4 mAC = 1,5 m
A = kN
8.Рами та механізмиСкладна
2 kN3 m0,8 m1,7 mABCDE

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2,5 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 0,8 м. У C діє горизонтальна сила 2 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 2 kNAB = 3 mвисота C = 2,5 mвисота DE = 0,8 m
T = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
15 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 2 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
4 kN/m45 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 6 m30 kN @ 2 m4 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
200 mm240 mm156 mmØ40xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 156 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
120280163302412xрозміри в mm

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 120 × 16 mm, стінку висотою 330 mm і товщиною 12 mm та нижню полицю 280 × 24 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 120 × 16 mmстінка: 12 × 330 mmнижня полиця: 280 × 24 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −6

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−4)·6 + (−5)·k + 6·(−1) = 0
−30 + (−5)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −(−30)/(−5) = −6

Відповідь

k = −6
2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 34

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = (−4)·2 − 0·(−5) = −8
(b × c)y = bzcx − bxcz = 0·2 − (−5)·2 = 10
(b × c)z = bxcy − bycx = (−5)·(−5) − (−4)·2 = 33

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 1·(−8) + 4·10 + (−2)·33 = −34
V = |−34| = 34

Відповідь

V = 34
3.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 103,1 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣMA = 0: RB·8 = 25·7 + 65·10
RB = 825/8 = 103,1 kN

Рівновага по вертикалі

RA = 25 + 65 − 103,1 = −13,13 kN

Відповідь

RB = 103,1 kN

RA від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 48,98 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 60·sin 50° = 45,96 kN
Ph = 60·cos 50° = 38,57 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·5 = 45,96·4 + 30·1,5 → RB = 45,77 kN
Ay = 45,96 + 30 − 45,77 = 30,19 kN
Ax = Ph = 38,57 kN

Повна реакція в A

RA = √(38,57² + 30,19²) = 48,98 kN

Відповідь

RA = 48,98 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −30,92 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,9701 = −30,92 kN

Відповідь

FBC = −30,92 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 35,83 kN (T), BC: 35,83 kN (T), CD: 60,83 kN (T), DE: 60,83 kN (T), FG: 91,67 kN (C), GH: 91,67 kN (C), AF: 57,29 kN (C), HE: 76,04 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 57,29 kN (T), HC: 26,04 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF
7.Рами та механізми

Відповідь: A = 18,36 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

FCD = 6·4/(0,6839·1,6) = 21,93 kN

Складові в A

Ax = FCD·cos α = 16 kN (до стіни)
Ay = 6 − FCD·sin α = −9 kN

Модуль

A = √(16² + −9²) = 18,36 kN

Відповідь

A = 18,36 kN

Від’ємне Ay означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 1,471 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

By·3 = 2·2,5
By = 1,667 kN

Нога BC: моменти відносно C

1,667·1,5 = T·1,7
T = 1,471 kN

Відповідь

T = 1,471 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 102,5 kN, R2 = 92,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 175, MC = 260, MD = 285 kN·m, ME = 250, MF = 155, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 285 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 19 kN, R2 = 76 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 17, MC = 30, MD = 9, ME = −16, MF = −45 kN·m, MG = 0

Відповідь

Позначка F: MF = −45 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·0,9678² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·36,97² = 1,843 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 228,6 × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 246 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1920 mm², y = 362 mm
стінка: A = 3960 mm², y = 189 mm
нижня полиця: A = 6720 mm², y = 12 mm

Центр ваги

ȳ = (1920·362 + 3960·189 + 6720·12)/12600 = 121 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 120·16³/12 + 1920·241² = 1,116 × 10⁸ mm⁴
стінка: 12·330³/12 + 3960·68,04² = 5,427 × 10⁷ mm⁴
нижня полиця: 280·24³/12 + 6720·109² = 8,011 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,116 × 10⁸ + 5,427 × 10⁷ + 8,011 × 10⁷
Ix = 2,46 × 10⁸ mm⁴ = 246 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 246 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics