Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (−1, 0, 7) на b = (2, 1, −1), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (−1, 0, 7)b = (2, 1, −1)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−1, −3, 3), b = (1, −1, −3) і c = (−4, 5, 2).

a = (−1, −3, 3)b = (1, −1, −3)c = (−4, 5, 2)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP₁ = 35 kN у 3 mP₂ = 45 kN у 4 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (2 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A і зосередженою силою Q на відстані 0,5 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 2 mAD = 6 mP = 80 kN у 4 mQ = 70 kN у 0,5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 30 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 1,5 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 15 кН діє на стрижень AB у K на 0,6 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 15 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,5 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,6 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 0,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 2 м вище від A. У B висить вантаж 15 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 15 kNW_b = 0,5 kNAB = 6 mAC = 2 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 25 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 6 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mM₀ = 25 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 6 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 0 m50 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 120 × 16 mm, стінку висотою 190 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 220 × 24 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 120 × 16 mmстінка: 8 × 190 mmнижня полиця: 220 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −3,674

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−1)·2 + 0·1 + 7·(−1) = −9

Довжина b

|b| = √(2² + 1² + (−1)²) = 2,449

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −9/2,449 = −3,674

Відповідь

comp_b a = −3,674

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 40

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·2 − (−3)·5 = 13

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−4) − 1·2 = 10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·5 − (−1)·(−4) = 1

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = (−1)·13 + (−3)·10 + 3·1 = −40

V = |−40| = 40

Відповідь

V = 40

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 23 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 45·4

R_B = 285/5 = 57 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 57 = 23 kN

Відповідь

R_A = 23 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 115 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 80·2

R_D = 40 kN

V_C = 80 − 40 = 40 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 70 + 40 = 110 kN

M_A = 70·0,5 + 40·2 = 115 kN·m

Відповідь

M_A = 115 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 6 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,9701 = −24,74 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24,74)·0,2425 = 6 kN

Відповідь

F_AC = 6 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 32,81 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·1 + 20·2 → C_y = 9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 9,375 = 25,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол C

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9,375/0,2747 = −34,13 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−34,13)·0,9615 = 32,81 kN

Відповідь

F_AC = 32,81 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 3,628 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(3,5² + 2²) = 4,031 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(2/4,031)·5 = 15·0,6

F_BC = 3,628 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 3,628 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 45,75 kN

Натяг каната

T = (15 + 0,5/2)/0,3162 = 48,22 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 45,75 kN

A_y = 15 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Модуль

A = √(45,75² + 0,25²) = 45,75 kN

Відповідь

A = 45,75 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −18,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/8 = 3,125 kN (вгору)

R_A = −R_B = −3,125 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише R_A.

M_x = R_A·a = −3,125·6 = −18,75 kN·m

Відповідь

M_x = −18,75 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 29,33 kN, R₂ = 112,7 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −45,33, M_D = −98,67, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −200 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 54,86 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

стінка: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·252,5 + 4320·120)/7820 = 179,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·25³/12 + 3500·(252,5 − 179,3)² = 1,893 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·240³/12 + 4320·(120 − 179,3)² = 3,593 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,893 × 10⁷ + 3,593 × 10⁷ = 5,486 × 10⁷ mm⁴ = 54,86 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 54,86 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 70,22 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1920 mm², y = 222 mm

стінка: A = 1520 mm², y = 119 mm

нижня полиця: A = 5280 mm², y = 12 mm

Центр ваги

ȳ = (1920·222 + 1520·119 + 5280·12)/8720 = 76,89 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 120·16³/12 + 1920·145,1² = 4,047 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·190³/12 + 1520·42,11² = 7,268 × 10⁶ mm⁴

нижня полиця: 220·24³/12 + 5280·64,89² = 2,249 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,047 × 10⁷ + 7,268 × 10⁶ + 2,249 × 10⁷

I_x = 7,022 × 10⁷ mm⁴ = 70,22 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 70,22 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics