У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (6, 4, −2) і b = (−4, 1, −5).
a = (6, 4, −2)b = (−4, 1, −5)
a·b =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Сила F = (−50, −50, −10) N діє в точці A(3, −1, −1). Координати подано в метрах. Знайдіть модуль |M| моменту сили відносно точка O(1, 2, 3).
F = (−50, −50, −10) NA(3, −1, −1) mO(1, 2, 3) m
|M| = N·m
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 6 mP1 = 40 kN у 3 mP2 = 20 kN у 5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 8 mP = 60 kN у 6 mw = 3 kN/m від 4 до 5 m
RB = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
D: 20 kN ↓G: 30 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 2,25 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 5 кН діє на стрижень AB у K на 1,35 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 5 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,25 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,35 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 0,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 3 м вище від A. У B висить вантаж 15 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.
W = 15 kNWb = 0,5 kNAB = 6 mAC = 3 m
A = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 8 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.
L = 5 mw = 12 kN/m від 1 до 5 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Пластина 120 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 210 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент Mallow, який може витримати балка.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Радіус-вектор від O до A
r = A − O = (3, −1, −1) − (1, 2, 3) = (2, −3, −4) m
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 40·3 + 20·5
RB = 220/6 = 36,67 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 36,67 = 23,33 kN
Відповідь
RB = 36,67 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 46,69 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·6 + 3·1·4,5
RB = 373,5/8 = 46,69 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 46,69 = 16,31 kN
Відповідь
RB = 46,69 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент BF
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол B
AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол D
CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(2,75² + 2²) = 3,4 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(2/3,4)·5 = 5·1,35
FBC = 2,295 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 2,295 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: A = 30,5 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Натяг каната
T = (15 + 0,5/2)/0,4472 = 34,1 kN
Складові в A
Ax = T·cos β = 30,5 kN
Ay = 15 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN
Модуль
A = √(30,5² + 0,25²) = 30,5 kN
Відповідь
A = 30,5 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 39,38 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 20·3,5 − 5·3,5·1,75 = 39,38 kN·m
Відповідь
Mx = 39,38 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 34,56 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·4·3
RB = 144/5 = 28,8 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 28,8 = 19,2 kN
Нульова поперечна сила
Поперечна сила починається з RA, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (36000·150 − 1257·210)/(36000 − 1257) = 147,8 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
120·300³/12 + 36000·2,17² = 270,2 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·40⁴/64 + 1257·62,17² = 4,983 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 265,2 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 265,2 × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Mallow = 10,91 kN·m
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.