У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (−25, 0, 5) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(5, 3, −5) до точки B(−5, −4, −2). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (−25, 0, 5) NA(5, 3, −5) mB(−5, −4, −2) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(−4, 0, −3), B(−1, 2, −3) і C(3, 3, 3). Координати подано в метрах.
A(−4, 0, −3)B(−1, 2, −3)C(3, 3, 3)
A = m²
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 75 kN у 4 mP2 = 25 kN у 10 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 6 m до вільного кінця в 8 m. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 6 mAC = 8 mP = 15 kN у 4 mw = 2 kN/m від 6 до 8 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
G: 25 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAB = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 6 м одна від одної, а B розташований на 3 м над землею і на 2,7 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 15 кН діє на стрижень AB у K на 0,675 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 15 kNL = 6 mH = 3 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,7 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,675 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 3 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 1,5 м вище від A. У B висить вантаж 15 кН. Знайдіть натяг T каната.
W = 15 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.
L = 6 mP1 = 25 kN у 3,5 mP2 = 25 kN у 4 m
Mmax = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
30 kN @ 6 m20 kN @ 1 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Пластина 100 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 300 mmвиріз: 30 × 50 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Розчини
1.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: W = 265 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (−5, −4, −2) − (5, 3, −5) = (−10, −7, 3) m
Робота
W = F·d = (−25)·(−10) + 0·(−7) + 5·3 = 265 J
Відповідь
W = 265 J
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: A = 11,1 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Вектори сторін
AB = B − A = (3, 2, 0)
AC = C − A = (7, 3, 6)
Векторний добуток
(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 2·6 − 0·3 = 12
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 0·7 − 3·6 = −18
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 3·3 − 2·7 = −5
|AB × AC| = √(12² + (−18)² + (−5)²) = 22,2
Площа трикутника
A = ½·22,2 = 11,1 m²
Відповідь
A = 11,1 m²
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 8,333 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·6 = 75·4 + 25·10
RB = 550/6 = 91,67 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 75 + 25 − 91,67 = 8,333 kN
Відповідь
RA = 8,333 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 4,333 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Рівнодійна розподіленого навантаження
W = 2·2 = 4 kN, x̄ = (6 + 8)/2 = 7 m
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·4 + 4·7
RB = 88/6 = 14,67 kN
RA = 19 − 14,67 = 4,333 kN
Відповідь
RA = 4,333 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 + 30·4 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 41,25 = −11,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 4/8,062 = 0,4961
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−11,25/0,4961 = 22,68 kN
Відповідь
FAB = 22,68 kN (розтяг)
7.Рами та механізми
Відповідь: FBC = 2,509 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(3,3² + 3²) = 4,46 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(3/4,46)·6 = 15·0,675
FBC = 2,509 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 2,509 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: T = 36,9 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Кут каната
BC = √(3² + 1,5²) = 3,354 m, sin β = 0,4472
Моменти відносно A
T·0,4472·3 = 15·3 + 3·1,5
T = 36,9 kN
Відповідь
T = 36,9 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 65,63 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·3,5 + 25·4
RB = 187,5/6 = 31,25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 31,25 = 18,75 kN
Момент під кожною силою
Залиште частину ліворуч від кожної сили.
під P1: M = RA·3,5 = 18,75·3,5 = 65,63 kN·m
під P2: M = RB·2 = 31,25·2 = 62,5 kN·m
Найбільше значення
Mmax = 65,63 kN·m (під P1)
Відповідь
Mmax = 65,63 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: F (x = 5 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 10 kN, R2 = 40 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 10, MC = 0, MD = −10, ME = −20, MF = −30 kN·m, MG = 0
Відповідь
Позначка F: MF = −30 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 35,08 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
стінка: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (30000·150 − 1500·105)/(30000 − 1500) = 152,4 mm