У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть скалярну проєкцію compb a вектора a = (−4, −5, −2) на b = (6, −5, −3), тобто компоненту a у напрямі b.
a = (−4, −5, −2)b = (6, −5, −3)
compb a =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Сила F = (−50, −20, −40) N діє в точці A(3, −2, −3). Координати подано в метрах. Знайдіть y-компоненту My моменту сили відносно точка O(−3, 0, 1).
F = (−50, −20, −40) NA(3, −2, −3) mO(−3, 0, 1) m
My = N·m
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 12 kN/m в A до нуля в B. Також на відстані 2,5 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 6 mw0 = 12 kN/mP = 55 kN у 2,5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 8 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.
L = 6 mw0 = 8 kN/mP = 50 kN у 5 m
MA = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓D: 30 kN ↓H: 10 kN ←
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
7.Рами та механізмиСередня
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 3 м одна від одної, а B розташований на 2,5 м над землею і на 1,8 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 8 кН діє на стрижень AB у K на 1,35 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 8 kNL = 3 mH = 2,5 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,35 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 120 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 20 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 3000 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.
Q = 3000 NAB = BC = 120 mmh = 20 mm
F = N
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 10 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 4 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 10 mM0 = 10 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 4 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
50 kN @ 12 m55 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярний добуток
a·b = (−4)·6 + (−5)·(−5) + (−2)·(−3) = 7
Довжина b
|b| = √(6² + (−5)² + (−3)²) = 8,367
Скалярна проєкція
compb a = a·b/|b| = 7/8,367 = 0,8367
Відповідь
compb a = 0,8367
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: My = 440 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Радіус-вектор від O до A
r = A − O = (3, −2, −3) − (−3, 0, 1) = (6, −2, −4) m
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Рівнодійна трикутного навантаження
W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 36·2 + 55·2,5
RB = 34,92 kN
RA = 91 − 34,92 = 56,08 kN
Відповідь
RB = 34,92 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: MA = 298 kN·m
Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.
Рівнодійна трикутного навантаження
W = ½·8·6 = 24 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Момент відносно стіни
MA = W·x̄ + P·a = 24·2 + 50·5 = 298 kN·m
Відповідь
MA = 298 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол G
FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(1,2² + 2,5²) = 2,773 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(2,5/2,773)·3 = 8·1,35
FBC = 3,993 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 3,993 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: F = 1014 N
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Кут ланки
sin θ = 20/120 = 0,1667, θ = 9,594°
Сила в ланці
Flink = Q/cos θ = 3043 N
Сила в B
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 1014 N
Відповідь
F = 1014 N
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = −4 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.
Опорні реакції
Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 10/10 = 1 kN (вгору)
RA = −RB = −1 kN (вниз)
Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту
Ліва частина містить лише RA.
Mx = RA·a = −1·4 = −4 kN·m
Відповідь
Mx = −4 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: F (x = 10 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 34 kN, R2 = 71 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 68, MC = 26, MD = −16, ME = −58, MF = −100 kN·m, MG = 0
Відповідь
Позначка F: MF = −100 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 57,46 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232,5 mm
стінка: Aw = 20·220 = 4400 mm², yw = 220/2 = 110 mm
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
стінка: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm