Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (3, 3, 3) на b = (−4, 2, −5), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (3, 3, 3)b = (−4, 2, −5)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (−2, 2, −6) і b = (−2, −4, −1) знайдіть y-компоненту (a × b)_y векторного добутку a × b.

a = (−2, 2, −6)b = (−2, −4, −1)

(a × b)_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP₁ = 55 kN у 2 mP₂ = 35 kN у 3 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP = 45 kN у 4 mw = 12 kN/m від 3 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 10 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 3 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 0,9 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 5 кН діє на стрижень AB у K на 0,54 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 5 kNL = 3 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 0,9 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,54 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 2 м вище від A. У B висить вантаж 8 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 8 kNW_b = 2 kNAB = 2,5 mAC = 2 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 8 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 5 kN/m від 0 до 10 mx = 8 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 0 m60 kN @ 6 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 120 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 130 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 130 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 156 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 30 mmцентр отвору: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −3,13

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 3·(−4) + 3·2 + 3·(−5) = −21

Довжина b

|b| = √((−4)² + 2² + (−5)²) = 6,708

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −21/6,708 = −3,13

Відповідь

comp_b a = −3,13

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_y = 10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − (−6)·(−4) = −26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−2) − (−2)·(−1) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−4) − 2·(−2) = 12

Потрібна компонента

(a × b)_y = 10

Відповідь

(a × b)_y = 10

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 53,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2 + 35·3

R_B = 215/4 = 53,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 53,75 = 36,25 kN

Відповідь

R_B = 53,75 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 44,4 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·4 + 12·1·3,5

R_B = 222/5 = 44,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 44,4 = 12,6 kN

Відповідь

R_B = 44,4 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 2,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,7071 = −3,536 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3,536)·0,7071 = 2,5 kN

Відповідь

F_AC = 2,5 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −3,953 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 20·3 → C_y = 21,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,9487 = −3,953 kN

Відповідь

F_AB = −3,953 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 1,305 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(2,1² + 2²) = 2,9 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(2/2,9)·3 = 5·0,54

F_BC = 1,305 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 1,305 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 11,29 kN

Натяг каната

T = (8 + 2/2)/0,6247 = 14,41 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 11,25 kN

A_y = 8 + 2 − T·sin β = 1 kN

Модуль

A = √(11,25² + 1²) = 11,29 kN

Відповідь

A = 11,29 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −15 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Розріжте в x = 8 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 25 − 5·8 = −15 kN

Відповідь

V_x = −15 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 18,67 kN, R₂ = 100,3 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −55,33, M_D = −83,67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −120 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 7,337 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 120·12 = 1440 mm², y₁ = 6 mm

дві полиці: A₂ = 2·12·118 = 2832 mm², y₂ = 12 + 118/2 = 71 mm

Центр ваги

ȳ = (1440·6 + 2832·71)/4272 = 49,09 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 120·12³/12 + 1440·(6 − 49,09)² = 2,691 × 10⁶ mm⁴

дві полиці: 2·12·118³/12 + 2832·(71 − 49,09)² = 4,646 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,691 × 10⁶ + 4,646 × 10⁶

I_x = 7,337 × 10⁶ mm⁴ = 7,337 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 7,337 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 113 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 1500·156)/(24000 − 1500) = 117,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·2,4² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·30³/12 + 1500·38,4² = 2,324 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 113 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 113 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics