Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (3, 2, −6) і b = (0, −5, −1) у градусах.

a = (3, 2, −6)b = (0, −5, −1)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−5, −3, −1) і b = (0, 3, −3) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (−5, −3, −1)b = (0, 3, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 2,5 m і зосередженою силою P на відстані 3 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію R_A у стіні.

L = 5 mP = 60 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 2,5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 0,5 m від A під кутом 45° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.

L = 6 mP = 55 kN у 0,5 m, θ = 45°Q = 70 kN у 3 m

α = °

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,5 м нижче від A. У B висить вантаж 10 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 10 kNAD = 2 mAB = 4 mAC = 0,5 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 5 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. Вертикальне навантаження 4 кН діє на ногу AC у K на 1,25 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 4 kNAB = 5 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,25 m

C = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 8 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 55 kN у 3 mw = 12 kN/m від 0 до 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 140 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 150 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 140 mmh = 150 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 120 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 300 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 40 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 120 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 96,43 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 3·0 + 2·(−5) + (−6)·(−1) = −4

Модулі

|a| = √(3² + 2² + (−6)²) = 7

|b| = √(0² + (−5)² + (−1)²) = 5,099

Кут

cos θ = −4/(7·5,099) = −0,1121

θ = arccos(−0,1121) = 96,43°

Відповідь

θ = 96,43°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = −0,4924

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−3) − (−1)·3 = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·0 − (−5)·(−3) = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·3 − (−3)·0 = −15

Нормування

z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).

|a × b| = √(12² + (−15)² + (−15)²) = 24,37

n̂ = −(12, −15, −15)/24,37 = (−0,4924, 0,6155, 0,6155)

n̂_x = −0,4924

Відповідь

n̂_x = −0,4924

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 70 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·2,5 = 10 kN, x̄ = 1,25 m

Рівновага по вертикалі

R_A = P + W = 60 + 10 = 70 kN

Відповідь

R_A = 70 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: α = 61,17 °

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 55·sin 45° = 38,89 kN

P_h = 55·cos 45° = 38,89 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·6 = 38,89·0,5 + 70·3 → R_B = 38,24 kN

A_y = 38,89 + 70 − 38,24 = 70,65 kN

A_x = P_h = 38,89 kN

Напрямок у A

α = atan(A_y/A_x) = atan(70,65/38,89) = 61,17°

Відповідь

α = 61,17°

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −17,68 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12,5/0,7071 = −17,68 kN

Відповідь

F_AB = −17,68 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −30 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·2 + 20·4 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 24 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,8 = −30 kN

Відповідь

F_BC = −30 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 80,62 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 10·4/(0,2425·2) = 82,46 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 80 kN (до стіни)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −10 kN

Модуль

A = √(80² + −10²) = 80,62 kN

Відповідь

A = 80,62 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: C = 1,255 kN

Реакція опори в B

B_y = 4·1,25/5 = 1 kN

Сила в затяжці

T = 1·2,5/3,3 = 0,7576 kN

Сила в шарнірі на BC

C_x = 0,7576 kN, C_y = −1 kN

C = √(0,7576² + 1²) = 1,255 kN

Відповідь

C = 1,255 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 30 kN, R₂ = 30 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 50, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 50, M_F = 27,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 67,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 129 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·3 + 12·10·5

R_B = 765/10 = 76,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 175 − 76,5 = 98,5 kN

Розріжте в x = 8 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 98,5·8 − 55·(8 − 3) − 12·8·4 = 129 kN·m

Відповідь

M_x = 129 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 55,76 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

дві полиці: A₂ = 2·12·138 = 3312 mm², y₂ = 12 + 138/2 = 81 mm

Центр ваги

ȳ = (1680·6 + 3312·81)/4992 = 55,76 mm

Відповідь

ȳ = 55,76 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 74,28 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·300³ − 108·276³)/12

I_x = 8,078 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 150 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·150/8,078 × 10⁷ = 74,28 MPa

Відповідь

σ_max = 74,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics