Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|

Метод

  1. Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
  2. Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
  3. Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

  1. Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
  2. Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
  3. Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
  4. Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
xyzdFAB

Стала сила F = (−10, 5, −10) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(1, −3, −3) до точки B(−5, 5, 0). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (−10, 5, −10) NA(1, −3, −3) mB(−5, 5, 0) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
xyzrFOA

Сила F = (0, −10, −10) N діє в точці A(−1, −1, 0). Координати подано в метрах. Знайдіть y-компоненту My моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (0, −10, −10) NA(−1, −1, 0) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 25 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​1 m3 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 6 mP1 = 25 kN у 1 mP2 = 45 kN у 4 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
w = 5 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 8 mP = 15 kN у 4 mw = 5 kN/m від 4 до 5 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH20 kN35 kN20 kN40 kN25 kN4 × 3 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 40 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH15 kN40 kN15 kN4 × 3 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 15 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
7.Рами та механізмиСередня
20 kN2,4 m1,2 m0,8 m0,3 mABCDEK

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2,4 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 2 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. Вертикальне навантаження 20 кН діє на ногу AC у K на 0,3 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 20 kNAB = 2,4 mвисота C = 2 mвисота DE = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,3 m
T = kN
8.Рами та механізмиСкладна
5 kN2 m1,2 m3,3 mABCDE

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4,5 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 1,2 м. У C діє горизонтальна сила 5 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 5 kNAB = 2 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1,2 m
T = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
4 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mP = 40 kNAB1 m7 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 8 mP = 40 kN у 1 mw = 12 kN/m від 0 до 8 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
2001522012xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 200 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2601026020xM = 10 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 10 kN·m
σниз = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = 70 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (−5, 5, 0) − (1, −3, −3) = (−6, 8, 3) m

Робота

W = F·d = (−10)·(−6) + 5·8 + (−10)·3 = 70 J

Відповідь

W = 70 J
2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: My = −10 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (−1, −1, 0) − (0, 0, 0) = (−1, −1, 0) m

Момент M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = (−1)·(−10) − 0·(−10) = 10 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = 0·0 − (−1)·(−10) = −10 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = (−1)·(−10) − (−1)·0 = 10 N·m

Потрібна компонента

My = −10 N·m

Відповідь

My = −10 N·m
3.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 35,83 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 25 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m3 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 45·4
RB = 205/6 = 34,17 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 34,17 = 35,83 kN

Відповідь

RA = 35,83 kN
4.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 9,688 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 5 kN/mP = 15 kNABRA​RB​4 m1 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·4 + 5·1·4,5
RB = 82,5/8 = 10,31 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10,31 = 9,688 kN

Відповідь

RA = 9,688 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 55,31 kN (T), BC: 55,31 kN (T), CD: 49,69 kN (T), DE: 49,69 kN (T), FG: 65,63 kN (C), GH: 65,63 kN (C), AF: 92,19 kN (C), HE: 82,81 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 17,19 kN (T), HC: 26,56 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 21,25 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 42,5 kN (C), AF: 12,37 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 8,839 kN (C), HC: 30,05 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH
7.Рами та механізми

Відповідь: T = 3,75 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

By = 20·0,3/2,4 = 2,5 kN

Нога BC: моменти відносно C

2,5·1,2 = T·0,8
T = 3,75 kN

Відповідь

T = 3,75 kN
8.Рами та механізми

Відповідь: T = 3,409 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

By·2 = 5·4,5
By = 11,25 kN

Нога BC: моменти відносно C

11,25·1 = T·3,3
T = 3,409 kN

Відповідь

T = 3,409 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 30,33 kN, R2 = 48,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 28,33, MC = 52,67, MD = 73, ME = 89,33 kN·m, MF = 46,67, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = 89,33 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 117 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·1 + 12·8·4
RB = 424/8 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 136 − 53 = 83 kN

Де V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (83 − 40)/12 = 3,583 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 117 kN·m

Відповідь

Mmax = 117 kN·m

Це в точці x = 3,583 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 30,09 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 200·15 = 3000 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
стінка: Aw = 12·220 = 2640 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·227,5 + 2640·110)/5640 = 172,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·15³/12 + 3000·(227,5 − 172,5)² = 9,131 × 10⁶ mm⁴
стінка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 172,5)² = 2,096 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,131 × 10⁶ + 2,096 × 10⁷ = 3,009 × 10⁷ mm⁴ = 30,09 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 30,09 × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σниз = 28,73 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
стінка: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·265 + 5200·130)/7800 = 175 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(265 − 175)² = 2,108 × 10⁷ mm⁴
стінка: 20·260³/12 + 5200·(130 − 175)² = 3,982 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,108 × 10⁷ + 3,982 × 10⁷ = 6,09 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 175 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·175/6,09 × 10⁷ = 28,73 MPa

Відповідь

σниз = 28,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics