Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (−4, −3, −3) на b = (5, −4, 3), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (−4, −3, −3)b = (5, −4, 3)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (2, 2, −1), b = (0, 5, 2) і c = (−3, 0, 1).

a = (2, 2, −1)b = (0, 5, 2)c = (−3, 0, 1)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 15 kN у 1,5 mP₂ = 25 kN у 4 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 10 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 1,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN у 1,5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 40 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 6 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 3,6 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,8 м над землею. Вертикальне навантаження 20 кН діє на ногу AC у K на 2,25 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 20 kNAB = 6 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 0,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 2,25 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 6 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 2 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,6 м над землею. Вертикальне навантаження 15 кН діє на ногу AC у K на 2,25 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 15 kNAB = 6 mвисота C = 2 mвисота DE = 0,6 mгоризонтальна відстань від A до K = 2,25 m

C = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 7 mP₁ = 45 kN у 3,5 mP₂ = 15 kN у 7 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 0 m10 kN @ 6 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 140 mm і внутрішній діаметр d = 120 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 140 mmd = 120 mm

r = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 40 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −2,404

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−4)·5 + (−3)·(−4) + (−3)·3 = −17

Довжина b

|b| = √(5² + (−4)² + 3²) = 7,071

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −17/7,071 = −2,404

Відповідь

comp_b a = −2,404

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 17

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·1 − 2·0 = 5

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−3) − 0·1 = −6

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·0 − 5·(−3) = 15

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 2·5 + 2·(−6) + (−1)·15 = −17

V = |−17| = 17

Відповідь

V = 17

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 24,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 25·4

R_B = 122,5/5 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24,5 = 15,5 kN

Відповідь

R_B = 24,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 86,67 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1,333 + 40·1,5 = 86,67 kN·m

Відповідь

M_A = 86,67 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −17,95 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 → C_y = 33,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 33,33 = 6,667 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,667/0,3714 = −17,95 kN

Відповідь

F_AB = −17,95 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = −17,5 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·1 − 25·4 → C_y = −10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −10 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−10/0,4961 = 20,16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(20,16)·0,8682 = −17,5 kN

Відповідь

F_AC = −17,5 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 8,036 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 20·2,25/6 = 7,5 kN

Нога BC: моменти відносно C

7,5·3 = T·2,8

T = 8,036 kN

Відповідь

T = 8,036 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: C = 13,3 kN

Реакція опори в B

B_y = 15·2,25/6 = 5,625 kN

Сила в затяжці

T = 5,625·3/1,4 = 12,05 kN

Сила в шарнірі на BC

C_x = 12,05 kN, C_y = −5,625 kN

C = √(12,05² + 5,625²) = 13,3 kN

Відповідь

C = 13,3 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 26,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3,5 + 15·7

R_B = 262,5/5 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 52,5 = 7,5 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·3,5 = 7,5·3,5 = 26,25 kN·m

Відповідь

M_x = 26,25 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 71,5 kN, R₂ = 26,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −14,5, M_D = −1, M_E = 0,5, M_F = −10, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −40 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 46,1 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 4084 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,679 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(8,679 × 10⁶/4084) = 46,1 mm

Відповідь

r = 46,1 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 97,08 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 1600·140)/(30000 − 1600) = 97,75 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·2,254² = 100,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·40³/12 + 1600·42,25² = 3,07 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 97,08 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 97,08 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Статика: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Метод

Опорні реакції балок

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Рами та механізми

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Центр ваги й момент інерції

2Задачі для практики

3Розчини

Скалярний добуток

Довжина b

Скалярна проєкція

Відповідь

Векторний добуток b × c

Скалярний добуток з a

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Рівнодійна трикутного навантаження

Момент відносно стіни

Відповідь

Опорні реакції

Вузол A

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Уся рама: моменти відносно A

Нога BC: моменти відносно C

Відповідь

Реакція опори в B

Сила в затяжці

Сила в шарнірі на BC

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Згинальний момент у кожній позначці

Відповідь

Площа нетто і момент інерції нетто

Радіус інерції

Відповідь

Центр ваги

Суцільна пластина відносно ȳ

Отвір відносно ȳ

Відніміть

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину