Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (−2, −4, 1) і b = (−2, −5, −6) у градусах.

a = (−2, −4, 1)b = (−2, −5, −6)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (−4, 3, 5) і b = (−2, 4, 6) знайдіть y-компоненту (a × b)_y векторного добутку a × b.

a = (−4, 3, 5)b = (−2, 4, 6)

(a × b)_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP₁ = 25 kN у 1,5 mP₂ = 40 kN у 2,5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (6 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 6 mAD = 10 mP = 60 kN у 7 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1 м нижче від A. У B висить вантаж 2 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 2 kNAD = 2 mAB = 3,6 mAC = 1 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 3 м вище від A. У B висить вантаж 5 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 5 kNW_b = 1,5 kNAB = 5 mAC = 3 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 30 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 180 × 20 mm, стінку висотою 300 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 230 × 10 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 180 × 20 mmстінка: 8 × 300 mmнижня полиця: 230 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 60,84 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−2)·(−2) + (−4)·(−5) + 1·(−6) = 18

Модулі

|a| = √((−2)² + (−4)² + 1²) = 4,583

|b| = √((−2)² + (−5)² + (−6)²) = 8,062

Кут

cos θ = 18/(4,583·8,062) = 0,4872

θ = arccos(0,4872) = 60,84°

Відповідь

θ = 60,84°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_y = 14

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·6 − 5·4 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−2) − (−4)·6 = 14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·4 − 3·(−2) = −10

Потрібна компонента

(a × b)_y = 14

Відповідь

(a × b)_y = 14

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 30,63 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 40·2,5

R_B = 137,5/4 = 34,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 34,38 = 30,63 kN

Відповідь

R_A = 30,63 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 270 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·1

R_D = 15 kN

V_C = 60 − 15 = 45 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 45 = 45 kN

M_A = 45·6 = 270 kN·m

Відповідь

M_A = 270 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 30 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,4472 = −33,54 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33,54)·0,8944 = 30 kN

Відповідь

F_AC = 30 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = −1,389 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·1 − 15·3 → C_y = −0,8333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − −0,8333 = 40,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Вузол C

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−0,8333/0,5145 = 1,62 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(1,62)·0,8575 = −1,389 kN

Відповідь

F_AC = −1,389 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 7,376 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 2·3,6/(0,4472·2) = 8,05 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 7,2 kN (до стіни)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −1,6 kN

Модуль

A = √(7,2² + −1,6²) = 7,376 kN

Відповідь

A = 7,376 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 11,18 kN

Кут каната

BC = √(5² + 3²) = 5,831 m, sin β = 0,5145

Моменти відносно A

T·0,5145·5 = 5·5 + 1,5·2,5

T = 11,18 kN

Відповідь

T = 11,18 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 17 kN, R₂ = 17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 26, M_D = 33 kN·m, M_E = 26, M_F = 15, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 33 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 23 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 4·4·2

R_B = 122/4 = 30,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 30,5 = 15,5 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 15,5·2 − 4·2·1 = 23 kN·m

Відповідь

M_x = 23 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 50,91 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стінка: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·305 + 4200·150)/5200 = 179,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·10³/12 + 1000·(305 − 179,8)² = 1,568 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·300³/12 + 4200·(150 − 179,8)² = 3,523 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,568 × 10⁷ + 3,523 × 10⁷ = 5,091 × 10⁷ mm⁴ = 50,91 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 50,91 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 159,8 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3600 mm², y = 320 mm

стінка: A = 2400 mm², y = 160 mm

нижня полиця: A = 2300 mm², y = 5 mm

Центр ваги

ȳ = (3600·320 + 2400·160 + 2300·5)/8300 = 186,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 180·20³/12 + 3600·133,6² = 6,433 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·300³/12 + 2400·26,45² = 1,968 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 230·10³/12 + 2300·181,4² = 7,574 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,433 × 10⁷ + 1,968 × 10⁷ + 7,574 × 10⁷

I_x = 1,598 × 10⁸ mm⁴ = 159,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 159,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics