Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−1, 6, −4) і b = (k, 1, 2) перпендикулярні.

a = (−1, 6, −4)b = (k, 1, 2)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−1, −2, 5) і b = (3, 2, 3) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂_y.

a = (−1, −2, 5)b = (3, 2, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 45 kN у 2 mP₂ = 10 kN у 4 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює нулю біля стіни й зростає до 15 kN/m на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 8 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 8 mw₀ = 15 kN/mP = 55 kN у 8 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 2 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,6 м над землею. Вертикальне навантаження 20 кН діє на ногу AC у K на 0,5 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 20 kNAB = 2 mвисота C = 2 mвисота DE = 0,6 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,5 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2,4 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,5 м над землею. Вертикальне навантаження 6 кН діє на ногу AC у K на 0,3 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 6 kNAB = 2,4 mвисота C = 4 mвисота DE = 1,5 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,3 m

C = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 30 kN у 2 mw = 4 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 180 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 12 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 180 mmH = 380 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmвиріз: 40 × 20 mmцентр отвору: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −2

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−1)·k + 6·1 + (−4)·2 = 0

−2 + (−1)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −(−2)/(−1) = −2

Відповідь

k = −2

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_y = 0,7373

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·3 − 5·2 = −16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·3 − (−1)·3 = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·2 − (−2)·3 = 4

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √((−16)² + 18² + 4²) = 24,41

n̂ = (−16, 18, 4)/24,41 = (−0,6554, 0,7373, 0,1638)

n̂_y = 0,7373

Відповідь

n̂_y = 0,7373

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 16,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·2 + 10·4

R_B = 130/8 = 16,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 16,25 = 38,75 kN

Відповідь

R_B = 16,25 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 760 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·15·8 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 60·5,333 + 55·8 = 760 kN·m

Відповідь

M_A = 760 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 27 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 27 = 18 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0,7071 = −38,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−38,18)·0,7071 = 27 kN

Відповідь

F_AC = 27 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 28,13 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 + 30·2 → C_y = 56,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 56,25 = −1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −56,25/0,8944 = −62,89 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−62,89)·0,4472 = 28,13 kN

Відповідь

F_AC = 28,13 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 3,571 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 20·0,5/2 = 5 kN

Нога BC: моменти відносно C

5·1 = T·1,4

T = 3,571 kN

Відповідь

T = 3,571 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: C = 0,8319 kN

Реакція опори в B

B_y = 6·0,3/2,4 = 0,75 kN

Сила в затяжці

T = 0,75·1,2/2,5 = 0,36 kN

Сила в шарнірі на BC

C_x = 0,36 kN, C_y = −0,75 kN

C = √(0,36² + 0,75²) = 0,8319 kN

Відповідь

C = 0,8319 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 24,38 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 20·1,5 − 5·1,5·0,75 = 24,38 kN·m

Відповідь

M_x = 24,38 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 69,03 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·2 + 4·8·4

R_B = 188/8 = 23,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 23,5 = 38,5 kN

Де V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (38,5 − 30)/4 = 2,125 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 69,03 kN·m

Відповідь

M_max = 69,03 kN·m

Це в точці x = 2,125 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 253,2 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 380 − 2·18 = 344 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·380³ − 168·344³)/12

I_x = 2,532 × 10⁸ mm⁴ = 253,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 253,2 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 55,81 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 800·97,5)/(30000 − 800) = 74,38 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·0,6164² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·20³/12 + 800·23,12² = 0,4542 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 55,81 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 55,81 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics