Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (25, 0, −15) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(5, −2, 3) до точки B(1, −1, 1). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (25, 0, −15) NA(5, −2, 3) mB(1, −1, 1) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(−3, −1, −3), B(−4, −2, 0) і C(3, −3, 3). Координати подано в метрах.

A(−3, −1, −3)B(−4, −2, 0)C(3, −3, 3)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 2,5 m і зосередженою силою P на відстані 2 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 6 mP = 55 kN у 2 mw = 12 kN/m від 0 до 2,5 m

M_A = kN·m

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 4,5 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 2,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 5 mP = 10 kN у 4,5 m, θ = 30°Q = 60 kN у 2,5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 10 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

G: 40 kN ↓H: 35 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 3 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 0,9 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 8 кН діє на стрижень AB у K на 0,45 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 8 kNL = 3 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 0,9 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,45 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 120 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 10 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 1000 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.

Q = 1000 NAB = BC = 120 mmh = 10 mm

F = N

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 5 m35 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань x_c від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 6 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 5 m

x_c = m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 150 × 22 mm, стінку висотою 360 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 200 × 20 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 150 × 22 mmстінка: 16 × 360 mmнижня полиця: 200 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = −70 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (1, −1, 1) − (5, −2, 3) = (−4, 1, −2) m

Робота

W = F·d = 25·(−4) + 0·1 + (−15)·(−2) = −70 J

Відповідь

W = −70 J

Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 12,65 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (−1, −1, 3)

AC = C − A = (6, −2, 6)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·6 − 3·(−2) = 0

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·6 − (−1)·6 = 24

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·(−2) − (−1)·6 = 8

|AB × AC| = √(0² + 24² + 8²) = 25,3

Площа трикутника

A = ½·25,3 = 12,65 m²

Відповідь

A = 12,65 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 147,5 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = 1,25 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 55·2 + 30·1,25 = 147,5 kN·m

Відповідь

M_A = 147,5 kN·m

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 31,71 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 10·sin 30° = 5 kN

P_h = 10·cos 30° = 8,66 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·4,5 + 60·2,5 → R_B = 34,5 kN

A_y = 5 + 60 − 34,5 = 30,5 kN

A_x = P_h = 8,66 kN

Повна реакція в A

R_A = √(8,66² + 30,5²) = 31,71 kN

Відповідь

R_A = 31,71 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 15 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 18,75 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 18,75 kN (C), AF: 25 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 0,4167 kN (T), BC: 35,83 kN (T), CD: 35,83 kN (T), DE: 17,92 kN (T), FG: 35,42 kN (C), GH: 52,92 kN (C), AF: 44,27 kN (C), HE: 22,4 kN (C), BF: 26,56 kN (T), CG: 0, DH: 13,44 kN (T), BG: 44,27 kN (C), DG: 22,4 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 1,74 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(2,1² + 2²) = 2,9 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(2/2,9)·3 = 8·0,45

F_BC = 1,74 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 1,74 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: F = 167,2 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Кут ланки

sin θ = 10/120 = 0,08333, θ = 4,78°

Сила в ланці

F_link = Q/cos θ = 1003 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 167,2 N

Відповідь

F = 167,2 N

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 20,83 kN, R₂ = 34,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 20,83, M_C = 41,67, M_D = 62,5 kN·m, M_E = 48,33, M_F = 34,17, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 62,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x_c = 4,8 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6·3

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18 = 12 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·12/5 = 4,8 m

Відповідь

x_c = 4,8 m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 66,04 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стінка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·275 + 3120·130)/11520 = 235,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·30³/12 + 8400·(275 − 235,7)² = 1,358 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 235,7)² = 5,245 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,358 × 10⁷ + 5,245 × 10⁷ = 6,604 × 10⁷ mm⁴ = 66,04 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 66,04 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 326 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3300 mm², y = 391 mm

стінка: A = 5760 mm², y = 200 mm

нижня полиця: A = 4000 mm², y = 10 mm

Центр ваги

ȳ = (3300·391 + 5760·200 + 4000·10)/13060 = 190,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 150·22³/12 + 3300·200,9² = 1,334 × 10⁸ mm⁴

стінка: 16·360³/12 + 5760·9,931² = 6,278 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 200·20³/12 + 4000·180,1² = 1,298 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,334 × 10⁸ + 6,278 × 10⁷ + 1,298 × 10⁸

I_x = 3,26 × 10⁸ mm⁴ = 326 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 326 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics