Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−2, 5, 0) і b = (−5, −4, −4).

a = (−2, 5, 0)b = (−5, −4, −4)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (1, −2, −3) і b = (−1, 3, −2) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (1, −2, −3)b = (−1, 3, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP₁ = 25 kN у 2 mP₂ = 15 kN у 3,5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP = 25 kN у 4 mw = 2 kN/m від 5 до 8 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 60 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 250 Н у A (на 150 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 60 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра F_O.

F = 250 NOA = 150 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.Рами та механізмиСкладна

Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 0,5 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 2,5 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 4 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу F_CD в розкосі.

w = 2,5 kN/mP = 4 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2 m від A. Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 2 mP = 45 kN у 2 mw = 2 kN/m від 0 до 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 70 kN у 4,5 mw = 2 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 280 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 70 mm. Основа й полиці мають товщину 8 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 280 mmh = 70 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = −10

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−2)·(−5) + 5·(−4) + 0·(−4) = 10 + (−20) + 0 = −10

Відповідь

a·b = −10

Від’ємний: кут між векторами більший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = 0,9309

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−2) − (−3)·3 = 13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−1) − 1·(−2) = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·3 − (−2)·(−1) = 1

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √(13² + 5² + 1²) = 13,96

n̂ = (13, 5, 1)/13,96 = (0,9309, 0,3581, 0,07161)

n̂_x = 0,9309

Відповідь

n̂_x = 0,9309

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 19,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 15·3,5

R_B = 102,5/5 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20,5 = 19,5 kN

Відповідь

R_A = 19,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 17,38 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, прикладена в x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·4 + 2·3·6,5

R_B = 139/8 = 17,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 17,38 = 13,63 kN

Відповідь

R_B = 17,38 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −18,75 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,8 = −18,75 kN

Відповідь

F_AB = −18,75 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 4,444 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·4 − 20·3 → C_y = 6,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,667 = 18,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,667/0,8321 = −8,012 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8,012)·0,5547 = 4,444 kN

Відповідь

F_AC = 4,444 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_O = 673,1 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 250·150/60 = 625 N

Реакція шарніра

O_x = 625 N, O_y = 250 N

F_O = √(625² + 250²) = 673,1 N

Відповідь

F_O = 673,1 N

8.Рами та механізми

Відповідь: F_CD = 51,99 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Рівнодійна рівномірного навантаження

w·L = 2,5·3 = 7,5 kN у 1,5 m

Моменти відносно A для балки

F_CD·0,4472·1 = 7,5·1,5 + 4·3 = 23,25 kN·m

F_CD = 51,99 kN

Відповідь

F_CD = 51,99 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −46 kN·m

Залиште частину з вільним кінцем

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −2·1²/2 = −1 kN·m

M_x = −45 − 1 = −46 kN·m

Відповідь

M_x = −46 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 85,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·4,5 + 2·6·3

R_B = 351/6 = 58,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 58,5 = 23,5 kN

Де V = 0?

V(4,5⁻) = R_A − w·4,5 = 14,5 kN

V(4,5⁺) = 14,5 − 70 = −55,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·4,5 − w·4,5²/2 = 23,5·4,5 − 2·4,5²/2 = 85,5 kN·m

Відповідь

M_max = 85,5 kN·m

Це в точці x = 4,5 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 1,172 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 280·8 = 2240 mm², y₁ = 4 mm

дві полиці: A₂ = 2·8·62 = 992 mm², y₂ = 8 + 62/2 = 39 mm

Центр ваги

ȳ = (2240·4 + 992·39)/3232 = 14,74 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 280·8³/12 + 2240·(4 − 14,74)² = 270449 mm⁴

дві полиці: 2·8·62³/12 + 992·(39 − 14,74)² = 901486 mm⁴

I_x = 270449 + 901486

I_x = 1,172 × 10⁶ mm⁴ = 1,172 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 1,172 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 153,5 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стінка: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·150 + 2800·70)/6800 = 117,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·20³/12 + 4000·(150 − 117,1)² = 4,474 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·140³/12 + 2800·(70 − 117,1)² = 1,077 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,474 × 10⁶ + 1,077 × 10⁷ = 1,525 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 117,1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·117,1/1,525 × 10⁷ = 153,5 MPa

Відповідь

σ_низ = 153,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics