У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (10, −5, −5) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−1, −4, −5) до точки B(1, −1, 1). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (10, −5, −5) NA(−1, −4, −5) mB(1, −1, 1) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (5, −1, 3) і b = (4, 2, −3) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂y.
a = (5, −1, 3)b = (4, 2, −3)n̂z > 0
n̂y =
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 4 mAC = 5 mP1 = 50 kN у 2 mP2 = 45 kN у 5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 4 mP = 40 kN у 1 mw = 2 kN/m від 0 до 2 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓D: 35 kN ↓H: 35 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←
FAC = kN
7.Рами та механізмиСередня
У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 5° з прямою AC. У B прикладена сила 300 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.
F = 300 Nθ = 5°
Q = N
8.Рами та механізмиСкладна
Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 0,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 2 м вище від A. У B висить вантаж 4 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.
W = 4 kNWb = 0,5 kNAB = 5 mAC = 2 m
A = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 40 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1,5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6 mM0 = 40 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1,5 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
30 kN @ 12 m40 kN @ 2 m4 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 160 mm і товщиною 16 mm, повну висоту 240 mm і стінку товщиною 6 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної центральної осі x.
B = 160 mmH = 240 mmtf = 16 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 60 MPa на розтяг і 150 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент Mallow, який може витримати балка.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (1, −1, 1) − (−1, −4, −5) = (2, 3, 6) m
Робота
W = F·d = 10·2 + (−5)·3 + (−5)·6 = −25 J
Відповідь
W = −25 J
Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: n̂y = 0,8835
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 45·5
RB = 325/4 = 81,25 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 50 + 45 − 81,25 = 13,75 kN
Відповідь
RB = 81,25 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 33 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, прикладена в x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 2·2·1
RB = 44/4 = 11 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 11 = 33 kN
Відповідь
RA = 33 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол G
FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·4 − 5·2 → Cy = 31,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31,67 = 18,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Рівновага шарніра B
2·Flink·sin 5° = 300
Flink = 1721 N
Сила затиску
Q = Flink·cos 5° = 300/(2·tan 5°) = 1715 N
Відповідь
Q = 1715 N
Відношення сил Q/F = 5,715 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.
8.Рами та механізми
Відповідь: A = 10,63 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Натяг каната
T = (4 + 0,5/2)/0,3714 = 11,44 kN
Складові в A
Ax = T·cos β = 10,63 kN
Ay = 4 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN
Модуль
A = √(10,63² + 0,25²) = 10,63 kN
Відповідь
A = 10,63 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 30 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.
Опорні реакції
Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/6 = 6,667 kN (вгору)
RA = −RB = −6,667 kN (вниз)
Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту
Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.
Mx = RA·a + M0 = −6,667·1,5 + 40 = 30 kN·m
Відповідь
Mx = 30 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: E (x = 8 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 31 kN, R2 = 71 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 54, MC = 12, MD = −46, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0
Відповідь
Позначка E: ME = −120 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 68,83 × 10⁶ mm⁴
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.