У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть значення k, за якого вектори a = (2, −6, 4) і b = (6, k, −5) перпендикулярні.
a = (2, −6, 4)b = (6, k, −5)
k =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Сила F = (20, −60, −20) N діє в точці A(−3, 4, −1). Координати подано в метрах. Знайдіть z-компоненту Mz моменту сили відносно точка O(0, −1, 2).
F = (20, −60, −20) NA(−3, 4, −1) mO(0, −1, 2) m
Mz = N·m
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 10 kN/m в A до нуля в B. Також на відстані 6 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 8 mw0 = 10 kN/mP = 70 kN у 6 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 5 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 8 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.
L = 10 mP = 30 kN у 5 m, θ = 30°Q = 20 kN у 8 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 35 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →
FAB = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 4 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 1,2 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 8 кН діє на стрижень AB у K на 0,9 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 8 kNL = 4 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,9 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 3 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. Вертикальне навантаження 8 кН діє на ногу AC у K на 0,6 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.
P = 8 kNAB = 4,8 mвисота C = 3 mвисота DE = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,6 m
C = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 15 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6 mM0 = 15 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.
L = 6 mw = 12 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 4 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 130 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 480 mm і стінку товщиною 8 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної центральної осі x.
B = 130 mmH = 480 mmtf = 18 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 50 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент Mallow, який може витримати балка (вкажіть його величину).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярний добуток дорівнює нулю
a·b = 2·6 + (−6)·k + 4·(−5) = 0
−8 + (−6)·k = 0
Розв’яжіть щодо k
k = −(−8)/(−6) = −1,333
Відповідь
k = −1,333
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: Mz = 80 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Радіус-вектор від O до A
r = A − O = (−3, 4, −1) − (0, −1, 2) = (−3, 5, −3) m
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Рівнодійна трикутного навантаження
W = ½·10·8 = 40 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·8 = 40·2,667 + 70·6
RB = 65,83 kN
RA = 110 − 65,83 = 44,17 kN
Відповідь
RA = 44,17 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 28,41 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Складові P
Pv = 30·sin 30° = 15 kN
Ph = 30·cos 30° = 25,98 kN
Реакції
ΣMA = 0: RB·10 = 15·5 + 20·8 → RB = 23,5 kN
Ay = 15 + 20 − 23,5 = 11,5 kN
Ax = Ph = 25,98 kN
Повна реакція в A
RA = √(25,98² + 11,5²) = 28,41 kN
Відповідь
RA = 28,41 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол G
FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 + 5·3 → Cy = 39 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 39 = 6 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6/0,6 = −10 kN
Відповідь
FAB = −10 kN (стиск)
7.Рами та механізми
Відповідь: FBC = 3,097 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(2,8² + 2²) = 3,441 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(2/3,441)·4 = 8·0,9
FBC = 3,097 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 3,097 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: C = 1,667 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Реакція опори в B
By = 8·0,6/4,8 = 1 kN
Сила в затяжці
T = 1·2,4/1,8 = 1,333 kN
Сила в шарнірі на BC
Cx = 1,333 kN, Cy = −1 kN
C = √(1,333² + 1²) = 1,667 kN
Відповідь
C = 1,667 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 7,5 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.
Опорні реакції
Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 15/6 = 2,5 kN (вгору)
RA = −RB = −2,5 kN (вниз)
Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту
Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.
Mx = RA·a + M0 = −2,5·3 + 15 = 7,5 kN·m
Відповідь
Mx = 7,5 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 13,5 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, прикладена в x̄ = 3 m
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.