У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть кут θ між векторами a = (1, −4, 3) і b = (−5, 5, −4) у градусах.
a = (1, −4, 3)b = (−5, 5, −4)
θ = °
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Сила F = (10, −20, −30) N діє в точці A(2, −2, −2). Координати подано в метрах. Знайдіть y-компоненту My моменту сили відносно точка O(−3, 0, −2).
F = (10, −20, −30) NA(2, −2, −2) mO(−3, 0, −2) m
My = N·m
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
L = 8 mP = 75 kN у 4 mM = 60 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 3 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 5 mP = 55 kN у 1 mw = 4 kN/m від 0 до 2 m
RB = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←
FAC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 300 Н у A (на 300 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 120 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра FO.
F = 300 NOA = 300 mmOB = 120 mm
FO = N
8.Рами та механізмиСкладна
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 3,6 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,8 м над землею. Вертикальне навантаження 5 кН діє на ногу AC у K на 0,375 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.
P = 5 kNAB = 3 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,375 m
C = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент Mx під силою P1. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5 mP1 = 10 kN у 1,5 mP2 = 20 kN у 5 mопори в x = 0 і x = 4 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.
L = 4 mP = 45 kN у 2 mw = 10 kN/m від 0 до 4 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 84 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярний добуток
a·b = 1·(−5) + (−4)·5 + 3·(−4) = −37
Модулі
|a| = √(1² + (−4)² + 3²) = 5,099
|b| = √((−5)² + 5² + (−4)²) = 8,124
Кут
cos θ = −37/(5,099·8,124) = −0,8932
θ = arccos(−0,8932) = 153,3°
Відповідь
θ = 153,3°
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: My = 150 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Радіус-вектор від O до A
r = A − O = (2, −2, −2) − (−3, 0, −2) = (5, −2, 0) m
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·8 − 75·4 − 60 = 0
RB = 360/8 = 45 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 75 − 45 = 30 kN
Відповідь
RA = 30 kN
Від’ємна реакція спрямована вниз.
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 12,6 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, прикладена в x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1 + 4·2·1
RB = 63/5 = 12,6 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 12,6 = 50,4 kN
Відповідь
RB = 12,6 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAB = −12,02 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5 = 10 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,8321 = −12,02 kN
Відповідь
FAB = −12,02 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAC = −5,625 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 − 30·4 → Cy = −22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −22,5 = 32,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Сила в B
Q = 300·300/120 = 750 N
Реакція шарніра
Ox = 750 N, Oy = 300 N
FO = √(750² + 300²) = 807,8 N
Відповідь
FO = 807,8 N
8.Рами та механізми
Відповідь: C = 0,8136 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Реакція опори в B
By = 5·0,375/3 = 0,625 kN
Сила в затяжці
T = 0,625·1,5/1,8 = 0,5208 kN
Сила в шарнірі на BC
Cx = 0,5208 kN, Cy = −0,625 kN
C = √(0,5208² + 0,625²) = 0,8136 kN
Відповідь
C = 0,8136 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 1,875 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1,5 + 20·5
RB = 115/4 = 28,75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 28,75 = 1,25 kN
Переріз під P1, залишаємо ліву частину
Mx = RA·1,5 = 1,25·1,5 = 1,875 kN·m
Відповідь
Mx = 1,875 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 65 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 10·4·2
RB = 170/4 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 42,5 = 42,5 kN
Де V = 0?
V(2⁻) = RA − w·2 = 22,5 kN
V(2⁺) = 22,5 − 45 = −22,5 kN
Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.
Максимальний момент
Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 42,5·2 − 10·2²/2 = 65 kN·m
Відповідь
Mmax = 65 kN·m
Це в точці x = 2 m від A.
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (36000·120 − 1257·84)/(36000 − 1257) = 121,3 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
150·240³/12 + 36000·−1,302² = 172,9 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−37,3² = 1,874 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: σверх = 8,963 MPa
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
стінка: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm