Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (4, −6, −1) і b = (k, 2, 5) перпендикулярні.

a = (4, −6, −1)b = (k, 2, 5)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (0, −2, 3), b = (5, −1, 5) і c = (0, 4, 5).

a = (0, −2, 3)b = (5, −1, 5)c = (0, 4, 5)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 1,5 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 4 mP = 70 kN у 1 mM = 60 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 1,5 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP = 35 kN у 1 mw = 2 kN/m від 2 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 200 Н у A (на 240 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 120 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра F_O.

F = 200 NOA = 240 mmOB = 120 mm

F_O = N

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 2,5 м вище від A. У B висить вантаж 12 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 4 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 8 kN/m від 0 до 6 mx = 4,5 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 40 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 280 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 150 mm. Основа й полиці мають товщину 18 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 280 mmh = 150 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = 4,25

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = 4·k + (−6)·2 + (−1)·5 = 0

−17 + 4·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −(−17)/4 = 4,25

Відповідь

k = 4,25

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 110

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·5 − 5·4 = −25

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·0 − 5·5 = −25

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·4 − (−1)·0 = 20

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 0·(−25) + (−2)·(−25) + 3·20 = 110

V = |110| = 110

Відповідь

V = 110

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 32,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 70·1 − 60 = 0

R_B = 130/4 = 32,5 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 70 − 32,5 = 37,5 kN

Відповідь

R_B = 32,5 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 27 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 2·1·2,5

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 10 = 27 kN

Відповідь

R_A = 27 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −15,93 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 → C_y = 30,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30,63 = 4,375 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4,375/0,2747 = −15,93 kN

Відповідь

F_AB = −15,93 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 17,5 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 + 30·3 → C_y = 52,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 52,5 = −12,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −52,5/0,9487 = −55,34 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−55,34)·0,3162 = 17,5 kN

Відповідь

F_AC = 17,5 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_O = 447,2 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 200·240/120 = 400 N

Реакція шарніра

O_x = 400 N, O_y = 200 N

F_O = √(400² + 200²) = 447,2 N

Відповідь

F_O = 447,2 N

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 24,53 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Кут каната

BC = √(4² + 2,5²) = 4,717 m, sin β = 0,53

Моменти відносно A

T·0,53·4 = 12·4 + 2·2

T = 24,53 kN

Відповідь

T = 24,53 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −12 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 24 − 8·4,5 = −12 kN

Відповідь

V_x = −12 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 26 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 6·8·4

R_B = 232/8 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 29 = 59 kN

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 59·7 − 40·(7 − 1) − 6·7·3,5 = 26 kN·m

Відповідь

M_x = 26 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 20,79 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 280·18 = 5040 mm², y₁ = 9 mm

дві полиці: A₂ = 2·18·132 = 4752 mm², y₂ = 18 + 132/2 = 84 mm

Центр ваги

ȳ = (5040·9 + 4752·84)/9792 = 45,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 280·18³/12 + 5040·(9 − 45,4)² = 6,813 × 10⁶ mm⁴

дві полиці: 2·18·132³/12 + 4752·(84 − 45,4)² = 1,398 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,813 × 10⁶ + 1,398 × 10⁷

I_x = 2,079 × 10⁷ mm⁴ = 20,79 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 20,79 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 26,99 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стінка: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·245 + 2880·120)/5880 = 183,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·10³/12 + 3000·(245 − 183,8)² = 1,127 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 183,8)² = 2,554 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,127 × 10⁷ + 2,554 × 10⁷ = 3,681 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 250 − 183,8 = 66,22 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·66,22/3,681 × 10⁷ = 26,99 MPa

Відповідь

σ_верх = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics