У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть кут θ між векторами a = (−4, 2, 6) і b = (5, 1, −3) у градусах.
a = (−4, 2, 6)b = (5, 1, −3)
θ = °
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−2, 4, 1), b = (−1, 4, −1) і c = (2, −5, 5).
a = (−2, 4, 1)b = (−1, 4, −1)c = (2, −5, 5)
V =
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 8 mP1 = 15 kN у 4 mP2 = 20 kN у 5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює нулю біля стіни й зростає до 12 kN/m на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 2,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.
L = 5 mw0 = 12 kN/mP = 35 kN у 2,5 m
MA = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←
FBC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,5 м над землею. У C діє навантаження 12 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.
P = 12 kNAB = 4,8 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1,5 m
C = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,8 м над землею. Вертикальне навантаження 5 кН діє на ногу AC у K на 0,25 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.
P = 5 kNAB = 2 mвисота C = 4 mвисота DE = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,25 m
C = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент Mx під силою P1. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6,5 mP1 = 70 kN у 2 mP2 = 30 kN у 6,5 mопори в x = 0 і x = 5 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 4 mP = 10 kN у 1,5 mw = 6 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 220 mm, зовнішню висоту H = 375 mm і сталу товщину стінки t = 16 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.
B = 220 mmH = 375 mmt = 16 mm
r = mm
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.
Скалярний добуток:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Він дає кут між двома векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), і дорівнює нулю, коли вектори перпендикулярні. Скалярна проєкція a на b дорівнює a·b/|b|, а стала сила F на переміщенні d виконує роботу W = F·d.
Скалярний добуток
a·b = (−4)·5 + 2·1 + 6·(−3) = −36
Модулі
|a| = √((−4)² + 2² + 6²) = 7,483
|b| = √(5² + 1² + (−3)²) = 5,916
Кут
cos θ = −36/(7,483·5,916) = −0,8132
θ = arccos(−0,8132) = 144,4°
Відповідь
θ = 144,4°
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: V = 21
Векторний добуток:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) перпендикулярний до обох векторів, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площа паралелограма, натягнутого на них (площа трикутника — половина). Порядок має значення: b × a = −(a × b). Момент сили F, прикладеної в точці A, відносно точки O дорівнює MO = r × F, де r = A − O.
Векторний добуток b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 4·5 − (−1)·(−5) = 15
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·2 − (−1)·5 = 3
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·(−5) − 4·2 = −3
Скалярний добуток з a
a·(b × c) = (−2)·15 + 4·3 + 1·(−3) = −21
V = |−21| = 21
Відповідь
V = 21
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 20 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·8 = 15·4 + 20·5
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 20 = 15 kN
Відповідь
RB = 20 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: MA = 187,5 kN·m
Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.
Рівнодійна трикутного навантаження
W = ½·12·5 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m
Момент відносно стіни
MA = W·x̄ + P·a = 30·3,333 + 35·2,5 = 187,5 kN·m
Відповідь
MA = 187,5 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·2 − 20·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 5 = 35 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Сила в затяжці з ноги BC
By = 6 kN
T = 6·2,4/3 = 4,8 kN
Складові сили в шарнірі на BC
Cx = T = 4,8 kN, Cy = −By = −6 kN
Модуль
C = √(4,8² + 6²) = 7,684 kN
Відповідь
C = 7,684 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: C = 0,6865 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Реакція опори в B
By = 5·0,25/2 = 0,625 kN
Сила в затяжці
T = 0,625·1/2,2 = 0,2841 kN
Сила в шарнірі на BC
Cx = 0,2841 kN, Cy = −0,625 kN
C = √(0,2841² + 0,625²) = 0,6865 kN
Відповідь
C = 0,6865 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 66 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.
ΣMA = 0: RB·5 = 70·2 + 30·6,5
RB = 335/5 = 67 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 67 = 33 kN
Переріз під P1, залишаємо ліву частину
Mx = RA·2 = 33·2 = 66 kN·m
Відповідь
Mx = 66 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 20,63 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1,5 + 6·4·2
RB = 63/4 = 15,75 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 15,75 = 18,25 kN
Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 18,25·1,5 − 6·1,5·0,75 = 20,63 kN·m
Відповідь
Mx = 20,63 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: r = 136,3 mm
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.
Площа нетто і момент інерції нетто
b = 188 mm, h = 343 mm
A = BH − bh = 220·375 − 188·343 = 18016 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3,346 × 10⁸ mm⁴
Радіус інерції
r = √(I/A) = √(3,346 × 10⁸/18016) = 136,3 mm
Відповідь
r = 136,3 mm
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: σниз = 148,5 MPa
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
стінка: Aw = 20·200 = 4000 mm², yw = 200/2 = 100 mm