Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (3, 1, −6) і b = (−1, 6, k) перпендикулярні.

a = (3, 1, −6)b = (−1, 6, k)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (0, −4, 2) і b = (5, −2, −4) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂_y.

a = (0, −4, 2)b = (5, −2, −4)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 20 kN у 0,5 mP₂ = 60 kN у 5 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 15 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 3 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 75 kN у 3 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 35 kN ↓F: 25 kN →G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

7.Рами та механізмиСередня

У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 30° з прямою AC. У B прикладена сила 250 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.

F = 250 Nθ = 30°

Q = N

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 3 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 15 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 4 mAC = 1 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 6,5 mw = 4 kN/m від 0 до 6,5 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 230 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 120 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 230 mmH = 280 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = 0,5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = 3·(−1) + 1·6 + (−6)·k = 0

3 + (−6)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −3/(−6) = 0,5

Відповідь

k = 0,5

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_y = 0,3333

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−4) − 2·(−2) = 20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·5 − 0·(−4) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·(−2) − (−4)·5 = 20

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √(20² + 10² + 20²) = 30

n̂ = (20, 10, 20)/30 = (0,6667, 0,3333, 0,6667)

n̂_y = 0,3333

Відповідь

n̂_y = 0,3333

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 88,57 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 20·0,5 + 60·5

R_B = 310/3,5 = 88,57 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 20 + 60 − 88,57 = −8,571 kN

Відповідь

R_B = 88,57 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 475 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 75·3,333 + 75·3 = 475 kN·m

Відповідь

M_A = 475 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −34,79 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33,75/0,9701 = −34,79 kN

Відповідь

F_AB = −34,79 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 70,71 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 21,21 kN (T), HC: 7,071 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

7.Рами та механізми

Відповідь: Q = 216,5 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Рівновага шарніра B

2·F_link·sin 30° = 250

F_link = 250 N

Сила затиску

Q = F_link·cos 30° = 250/(2·tan 30°) = 216,5 N

Відповідь

Q = 216,5 N

Відношення сил Q/F = 0,866 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 66,02 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Натяг каната

T = (15 + 3/2)/0,2425 = 68,03 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 66 kN

A_y = 15 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Модуль

A = √(66² + 1,5²) = 66,02 kN

Відповідь

A = 66,02 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 51 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 40·1,5 − 8·1,5·0,75 = 51 kN·m

Відповідь

M_x = 51 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 10,35 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6,5 = 26 kN, прикладена в x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·6,5·3,25

R_B = 84,5/5 = 16,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 16,9 = 9,1 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,1/4 = 2,275 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,1²/(2·4) = 10,35 kN·m

Відповідь

M_max = 10,35 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 88,4 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

стінка: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·307,5 + 5400·150)/8400 = 206,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·15³/12 + 3000·(307,5 − 206,3)² = 3,081 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·300³/12 + 5400·(150 − 206,3)² = 5,759 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,081 × 10⁷ + 5,759 × 10⁷ = 8,84 × 10⁷ mm⁴ = 88,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 88,4 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 118,7 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 280 − 2·14 = 252 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·280³ − 220·252³)/12

I_x = 1,274 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 140 − 14 = 126 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·126/1,274 × 10⁸ = 118,7 MPa

Відповідь

σ_j = 118,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics