У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (−25, 15, −20) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−2, 0, −2) до точки B(−1, 5, 5). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (−25, 15, −20) NA(−2, 0, −2) mB(−1, 5, 5) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть площу A паралелограма, натягнутого на a = (6, −4, −4) і b = (1, 4, 5).
a = (6, −4, −4)b = (1, 4, 5)
A =
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 5 mP1 = 55 kN у 1 mP2 = 60 kN у 1,5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 2 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 5 m до вільного кінця в 10 m. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 6 mAC = 10 mP = 80 kN у 2 mw = 10 kN/m від 5 до 10 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 40 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
F: 20 kN ↓H: 40 kN ↓H: 35 kN ←
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
7.Рами та механізмиСередня
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 4 м одна від одної, а B розташований на 4 м над землею і на 2,4 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 10 кН діє на стрижень AB у K на 1,44 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 10 kNL = 4 mH = 4 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,4 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,44 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 3 м одна від одної, а B розташований на висоті 3 м і на 1,8 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 5 кН у K на 1,35 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 6 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції Ax у A.
P = 5 kNQ = 6 kNL = 3 mH = 3 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,35 m
Ax = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2 m від A. Знайдіть згинальний момент MA у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 4 mP = 80 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 4 m
MA = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.
L = 9,5 mw = 5 kN/m від 0 до 9,5 mопори в x = 0 і x = 8 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 220 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 480 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 80 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σmax у перерізі.
Скалярний добуток:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Він дає кут між двома векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), і дорівнює нулю, коли вектори перпендикулярні. Скалярна проєкція a на b дорівнює a·b/|b|, а стала сила F на переміщенні d виконує роботу W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (−1, 5, 5) − (−2, 0, −2) = (1, 5, 7) m
Робота
W = F·d = (−25)·1 + 15·5 + (−20)·7 = −90 J
Відповідь
W = −90 J
Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: A = 44,23
Векторний добуток:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) перпендикулярний до обох векторів, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площа паралелограма, натягнутого на них (площа трикутника — половина). Порядок має значення: b × a = −(a × b). Момент сили F, прикладеної в точці A, відносно точки O дорівнює MO = r × F, де r = A − O.
Векторний добуток
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·5 − (−4)·4 = −4
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·1 − 6·5 = −34
(a × b)z = axby − aybx = 6·4 − (−4)·1 = 28
Площа
A = |a × b| = √((−4)² + (−34)² + 28²) = 44,23
Відповідь
A = 44,23
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 29 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1 + 60·1,5
RB = 145/5 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 29 = 86 kN
Відповідь
RB = 29 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 40,83 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Рівнодійна розподіленого навантаження
W = 10·5 = 50 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 80·2 + 50·7,5
RB = 535/6 = 89,17 kN
RA = 130 − 89,17 = 40,83 kN
Відповідь
RA = 40,83 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAB = −31,25 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 15 = 25 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −25/0,8 = −31,25 kN
Відповідь
FAB = −31,25 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(1,6² + 4²) = 4,308 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(4/4,308)·4 = 10·1,44
FBC = 3,877 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 3,877 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: Ax = 2,7 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Напрям BC
BC = 3,231 m, cos = 0,3714, sin = 0,9285
Уся рама: моменти відносно A
FBC·0,9285·3 = 5·1,35 + 6·3
FBC = 8,886 kN
Горизонтальний баланс
Ax + 6 − 8,886·0,3714 = 0
Ax = −2,7 kN → |Ax| = 2,7 kN
Відповідь
Ax = 2,7 kN
Знак мінус означає, що Ax напрямлена ліворуч.
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: MA = −184 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Залиште частину з вільним кінцем
P: −80·2 = −160 kN·m
w: −3·4²/2 = −24 kN·m
MA = −160 − 24 = −184 kN·m
Відповідь
MA = −184 kN·m
Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 37,24 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·9,5 = 47,5 kN, прикладена в x̄ = 4,75 m
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
стінка: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.