Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (−3, −4, −7) на b = (3, 0, −5), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (−3, −4, −7)b = (3, 0, −5)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (−1, 0, 6) і b = (−2, −5, 3) знайдіть x-компоненту (a × b)_x векторного добутку a × b.

a = (−1, 0, 6)b = (−2, −5, 3)

(a × b)_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 55 kN у 4 mP₂ = 10 kN у 10 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 30 kN у 4,5 mw = 6 kN/m від 1 до 2 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN →

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 30° з прямою AC. У B прикладена сила 100 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.

F = 100 Nθ = 30°

Q = N

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 3 м вище від A. У B висить вантаж 12 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 12 kNW_b = 1,5 kNAB = 2 mAC = 3 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP₁ = 65 kN у 2,5 mP₂ = 20 kN у 3,5 m

M_max = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань x_c від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 7 mw = 2 kN/m від 0 до 7 mопори в x = 0 і x = 6 m

x_c = m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 200 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 100 mm. Основа й полиці мають товщину 16 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 200 mmh = 100 mmt = 16 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 60 × 30 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = 4,459

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−3)·3 + (−4)·0 + (−7)·(−5) = 26

Довжина b

|b| = √(3² + 0² + (−5)²) = 5,831

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = 26/5,831 = 4,459

Відповідь

comp_b a = 4,459

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_x = 30

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·3 − 6·(−5) = 30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·(−2) − (−1)·3 = −9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−5) − 0·(−2) = 5

Потрібна компонента

(a × b)_x = 30

Відповідь

(a × b)_x = 30

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 53,33 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4 + 10·10

R_B = 320/6 = 53,33 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 55 + 10 − 53,33 = 11,67 kN

Відповідь

R_B = 53,33 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 24 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4,5 + 6·1·1,5

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 24 = 12 kN

Відповідь

R_B = 24 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −11,18 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 10 = 5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,8944 = −11,18 kN

Відповідь

F_BC = −11,18 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −35,36 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 25·3 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 25 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Вузол C

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,7071 = −35,36 kN

Відповідь

F_BC = −35,36 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: Q = 86,6 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Рівновага шарніра B

2·F_link·sin 30° = 100

F_link = 100 N

Сила затиску

Q = F_link·cos 30° = 100/(2·tan 30°) = 86,6 N

Відповідь

Q = 86,6 N

Відношення сил Q/F = 0,866 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 15,32 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Кут каната

BC = √(2² + 3²) = 3,606 m, sin β = 0,8321

Моменти відносно A

T·0,8321·2 = 12·2 + 1,5·1

T = 15,32 kN

Відповідь

T = 15,32 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 115,6 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·2,5 + 20·3,5

R_B = 232,5/6 = 38,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 38,75 = 46,25 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·2,5 = 46,25·2,5 = 115,6 kN·m

під P₂: M = R_B·2,5 = 38,75·2,5 = 96,88 kN·m

Найбільше значення

M_max = 115,6 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 115,6 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x_c = 5,833 m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·7·3,5

R_B = 49/6 = 8,167 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 8,167 = 5,833 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·5,833/2 = 5,833 m

Відповідь

x_c = 5,833 m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 30,83 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 200·16 = 3200 mm², y₁ = 8 mm

дві полиці: A₂ = 2·16·84 = 2688 mm², y₂ = 16 + 84/2 = 58 mm

Центр ваги

ȳ = (3200·8 + 2688·58)/5888 = 30,83 mm

Відповідь

ȳ = 30,83 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 76,75 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 1800·140)/(24000 − 1800) = 96,76 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·3,243² = 80,25 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·30³/12 + 1800·43,24² = 3,501 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 76,75 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 76,75 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics