Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (−6, 5, −4) і b = (4, 2, −4) у градусах.

a = (−6, 5, −4)b = (4, 2, −4)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (3, 0, −1) і b = (−3, −4, −2) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (3, 0, −1)b = (−3, −4, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mP₁ = 50 kN у 1 mP₂ = 15 kN у 5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP = 50 kN у 1,5 mw = 12 kN/m від 0 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓G: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2,4 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,8 м над землею. У C діє навантаження 10 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 10 kNAB = 2,4 mвисота C = 4 mвисота DE = 1,8 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на висоті 2 м і на 0,75 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 8 кН у K на 0,5625 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 2 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 8 kNQ = 2 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 0,75 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,5625 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 80 kN у 6 mw = 10 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 156 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 50 MPa на розтяг і 100 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 87,82 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−6)·4 + 5·2 + (−4)·(−4) = 2

Модулі

|a| = √((−6)² + 5² + (−4)²) = 8,775

|b| = √(4² + 2² + (−4)²) = 6

Кут

cos θ = 2/(8,775·6) = 0,03799

θ = arccos(0,03799) = 87,82°

Відповідь

θ = 87,82°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = 0,2577

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−2) − (−1)·(−4) = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−3) − 3·(−2) = 9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−4) − 0·(−3) = −12

Нормування

z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).

|a × b| = √((−4)² + 9² + (−12)²) = 15,52

n̂ = −(−4, 9, −12)/15,52 = (0,2577, −0,5797, 0,773)

n̂_x = 0,2577

Відповідь

n̂_x = 0,2577

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 52,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·1 + 15·5

R_B = 125/10 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 12,5 = 52,5 kN

Відповідь

R_A = 52,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 53,75 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 12·3·1,5

R_B = 129/4 = 32,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 86 − 32,25 = 53,75 kN

Відповідь

R_A = 53,75 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 25 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 63,64 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 35,36 kN (T), HC: 7,071 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −43,79 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 − 30·2 → C_y = −4,167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − −4,167 = 39,17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −39,17/0,8944 = −43,79 kN

Відповідь

F_AB = −43,79 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 5,695 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 5 kN

T = 5·1,2/2,2 = 2,727 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 2,727 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Модуль

C = √(2,727² + 5²) = 5,695 kN

Відповідь

C = 5,695 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 1,613 kN

Напрям BC

BC = 4,697 m, cos = 0,9048, sin = 0,4258

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,4258·5 = 8·0,5625 + 2·2

F_BC = 3,993 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 2 − 3,993·0,9048 = 0

A_x = 1,613 kN → |A_x| = 1,613 kN

Відповідь

A_x = 1,613 kN

A_x напрямлена праворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 2 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 8 − 4·1,5 = 2 kN

Відповідь

V_x = 2 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 180 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·6 + 10·8·4

R_B = 800/8 = 100 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 100 = 60 kN

Де V = 0?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 0 kN

V(6⁺) = 0 − 80 = −80 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 60·6 − 10·6²/2 = 180 kN·m

Відповідь

M_max = 180 kN·m

Це в точці x = 6 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 1257·156)/(36000 − 1257) = 118,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·1,302² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·37,3² = 1,874 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 5,523 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (4400·190 + 1800·90)/6200 = 161 mm

верхній край: c = 200 − 161 = 39,03 mm

Момент інерції перерізу

I = 220·20³/12 + 4400·29,03² + 10·180³/12 + 1800·70,97² = 1,778 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 100·1,778 × 10⁷/39,03 = 45,55 kN·m

нижній край: M = 50·1,778 × 10⁷/161 = 5,523 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 5,523 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 5,523 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics