Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (5, 6, 6) і b = (−1, 4, 3).

a = (5, 6, 6)b = (−1, 4, 3)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(−4, 0, 0), B(0, −1, −4) і C(1, 4, −2). Координати подано в метрах.

A(−4, 0, 0)B(0, −1, −4)C(1, 4, −2)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 3 m і зосередженою силою P на відстані 1,5 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію R_A у стіні.

L = 4 mP = 60 kN у 1,5 mw = 3 kN/m від 0 до 3 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP = 60 kN у 4 mw = 5 kN/m від 2 до 6 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 15 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 100 Н у A (на 200 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 80 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра F_O.

F = 100 NOA = 200 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 1,5 м вище від A. У B висить вантаж 15 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 15 kNW_b = 1 kNAB = 2 mAC = 1,5 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 3 m15 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mw = 12 kN/m від 1 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 72 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmвиріз: 40 × 40 mmцентр отвору: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = 37

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = 5·(−1) + 6·4 + 6·3 = (−5) + 24 + 18 = 37

Відповідь

a·b = 37

Додатний: кут між векторами менший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 15,07 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (4, −1, −4)

AC = C − A = (5, 4, −2)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·(−2) − (−4)·4 = 18

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−4)·5 − 4·(−2) = −12

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 4·4 − (−1)·5 = 21

|AB × AC| = √(18² + (−12)² + 21²) = 30,15

Площа трикутника

A = ½·30,15 = 15,07 m²

Відповідь

A = 15,07 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 69 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 3·3 = 9 kN, x̄ = 1,5 m

Рівновага по вертикалі

R_A = P + W = 60 + 9 = 69 kN

Відповідь

R_A = 69 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 40 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·4 + 5·4·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Відповідь

R_A = 40 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −18,03 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 10 = 15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,5547 = −18,03 kN

Відповідь

F_BC = −18,03 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = −2 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·3 − 20·3 → C_y = −3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −3 = 18 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Вузол C

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3/0,8321 = 3,606 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(3,606)·0,5547 = −2 kN

Відповідь

F_AC = −2 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_O = 269,3 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 100·200/80 = 250 N

Реакція шарніра

O_x = 250 N, O_y = 100 N

F_O = √(250² + 100²) = 269,3 N

Відповідь

F_O = 269,3 N

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 25,83 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Кут каната

BC = √(2² + 1,5²) = 2,5 m, sin β = 0,6

Моменти відносно A

T·0,6·2 = 15·2 + 1·1

T = 25,83 kN

Відповідь

T = 25,83 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 50 kN, R₂ = 70 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100, M_D = 142,5 kN·m, M_E = 110, M_F = 62,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 142,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 93,02 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·7·4,5

R_B = 378/8 = 47,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 47,25 = 36,75 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 36,75/12 = 4,063 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 36,75·4,063 − 12·3,063²/2 = 93,02 kN·m

Відповідь

M_max = 93,02 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (28800·120 − 706,9·96)/(28800 − 706,9) = 120,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·240³/12 + 28800·−0,6039² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−24,6² = 0,4677 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 226,4 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1600·72)/(48000 − 1600) = 121,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,655² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·40³/12 + 1600·−49,66² = 4,158 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 226,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 226,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics