Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 28, 51, 20, 49, 14.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 40?

μ = 60σ = 10x = 40

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,25

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 7p = 0,2k = 3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 76 і 130 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 130

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11,2. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 16 спостережень?

95%n₁ = 64E₁ = 11,2n₂ = 16

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 15 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 1 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 14 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 5,629 і 2,5 % — вище від 26,119.

n = 15s = 1 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 15 студентів, середній бал 38, стандартне відхилення 3,5. Група 2: 7 студентів, середній бал 45, стандартне відхилення 11,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 15x̄₁ = 38s₁ = 3,5n₂ = 7x̄₂ = 45s₂ = 11,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 50,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 50,1σ = 5n = 4995%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 84?

n = 6ŷ = 84

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,83

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 162/5 = 32,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,4)² + 18,6² + (−12,4)² + 16,6² + (−18,4)² = 1133

Стандартне відхилення

s = √(1133/4) = 16,83

Відповідь

s = 16,83

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,195

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,35

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,95

Дисперсія

Var(X) = 6,95 − 2,35² = 1,427

σ = √1,427 = 1,195

Відповідь

σ = 1,195

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1147

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 3) = 35·0,2³·0,8⁴ = 35·0,008·0,4096 = 0,1147

Відповідь

P = 0,1147

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9225

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,6) = 0,9772 − 0,0548 = 0,9225

Відповідь

P = 0,9225

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 256,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Відповідь

x = 256,41 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 22,4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/16) = 2

Нова похибка

E₂ = 11,2·2 = 22,4

Відповідь

E₂ = 22,4

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 0,7321 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 14·1² = 14

Межі для σ²

14/26,119 = 0,536

14/5,629 = 2,487

Межа для σ

σ = √0,536 = 0,7321 µm

Відповідь

σ = 0,7321 µm

95 % інтервал для σ: [0,7321, 1,577] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,202

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (14·3,5² + 6·11,5²)/20 = 48,25

s_p = 6,946

Стандартна похибка

SE = 6,946·√(1/15 + 1/7) = 3,18

Статистика критерію

t = (38 − 45)/3,18 = −2,202

Відповідь

t = −2,202

При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 51,5

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√49 = 1,4

Межа інтервалу

U = 50,1 + 1,4 = 51,5

Відповідь

U = 51,5

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9903

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 120/6 = 20

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 196

Коефіцієнт кореляції

r = −58/√(17,5·196) = −0,9903

Відповідь

r = −0,9903

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 7,48

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 430/6 = 71,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109

Лінія регресії

b = 109/17,5 = 6,229

a = 71,67 − 6,229·5,5 = 37,41

ŷ = 37,41 + 6,229·x

Розв’яжіть щодо x

x = (84 − 37,41)/6,229 = 7,48

Відповідь

x = 7,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1