Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 49, 16, 14, 49, 42.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 54,8?

μ = 50σ = 12x = 54,8

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 3 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 4

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 9p = 0,5

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242 і 255,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 255,25

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?

90%n₁ = 50E₁ = 395%

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,4 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,4E = 0,02599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 124,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 9 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 126,3 mm, відоме стандартне відхилення 5 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 50x̄₁ = 124,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 100x̄₂ = 126,3 mmσ₂ = 5 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 27. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 90%δ = 5σ = 27z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 48Σy = 586Σx² = 454Σy² = 59862Σxy = 5114

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 44?

n = 6ŷ = 44

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,73

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 184/6 = 30,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−16,67)² + 18,33² + (−14,67)² + (−16,67)² + 18,33² + 11,33² = 1571

Стандартне відхилення

s = √(1571/5) = 17,73

Відповідь

s = 17,73

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,1429

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429

Відповідь

P = 0,1429

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,01953

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Додайте

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Відповідь

P = 0,01953

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7983

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−1,6) = 0,8531 − 0,0548 = 0,7983

Відповідь

P = 0,7983

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9633

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Відповідь

P = 0,9633

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 3,574

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(50/50) = 1,191

Нова похибка

E₂ = 3·1,191 = 3,574

Відповідь

E₂ = 3,574

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,4·0,6/0,025² = 2548

Округліть угору

n = 2549

Відповідь

n = 2549

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,316

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(9²/50 + 5²/100) = √1,87 = 1,367

Статистика критерію

z = (124,5 − 126,3)/1,367 = −1,316

Відповідь

z = −1,316

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 380

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,282)·27/5)² = 379,6

Округліть угору

n = 380

Відповідь

n = 380

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,993

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 5114 − 48·586/6 = 426

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 59862 − 586²/6 = 2629

Коефіцієнт кореляції

r = 426/√(70·2629) = 0,993

Відповідь

r = 0,993

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 3,911

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 305/6 = 50,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229

Лінія регресії

b = 229/70 = 3,271

a = 50,83 − 3,271·6 = 31,2

ŷ = 31,2 + 3,271·x

Розв’яжіть щодо x

x = (44 − 31,2)/3,271 = 3,911

Відповідь

x = 3,911

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1