Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 33, 35, 27, 43, 10, 58, 59.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 59.

μ = 50σ = 15x = 59

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 7

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,4

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8029. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8029

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 17 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 17s = 15,590%t(19) = 1,729

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 8,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.

n = 16s = 8,9 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

8 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 5,74, стандартне відхилення різниць 5,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 5,74s_d = 5,8

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 0,599%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5,5, 33). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(5,5, 33)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,34

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 265/7 = 37,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,857)² + (−2,857)² + (−10,86)² + 5,143² + (−27,86)² + 20,14² + 21,14² = 1805

Стандартне відхилення

s = √(1805/6) = 17,34

Відповідь

s = 17,34

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (59 − 50)/15 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7209

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Відповідь

P = 0,7209

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1586

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Додайте

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Відповідь

P = 0,1586

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,29

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8029)/2 = 0,9015

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9015 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,29

Відповідь

z = 1,29

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 256,4 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Відповідь

x = 256,41 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,993

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Похибка оцінки

E = 1,729·15,5/√20 = 5,993

Відповідь

E = 5,993

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 6,575 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 15·8,9² = 1188

Межі для σ²

1188/27,488 = 43,22

1188/6,262 = 189,7

Межа для σ

σ = √43,22 = 6,575 µm

Відповідь

σ = 6,575 µm

95 % інтервал для σ: [6,575, 13,77] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,799

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 5,8/√8 = 2,051

Статистика критерію

t = 5,74/2,051 = 2,799

Відповідь

t = 2,799

При df = 7 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,365; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 2655

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·10/0,5)² = 2654

Округліть угору

n = 2655

Відповідь

n = 2655

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9728

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 585/6 = 97,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2056

Коефіцієнт кореляції

r = 369/√(70·2056) = 0,9728

Відповідь

r = 0,9728

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 167/5 = 33,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Лінія регресії

b = 32/10 = 3,2

a = 33,4 − 3,2·5 = 17,4

ŷ = 17,4 + 3,2·x

Прогнозоване значення

ŷ = 17,4 + 3,2·5,5 = 35

Залишок

e = 33 − 35 = −2

Відповідь

e = −2

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1