Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 40, 48, 27, 26, 11, 26, 42.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 162?

μ = 170σ = 10x = 162

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,2, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €12 з імовірністю 0,1 і €30 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€12: p = 0,1€30: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8664. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8664

z =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів20%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 51,5 і стандартне відхилення s = 15. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 51,5s = 1595%t(15) = 2,131

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 13 ділянок, середній урожай 43 kg, стандартне відхилення 1 kg. Група ділянок 2: 18 ділянок, середнє 50 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 43s₁ = 1n₂ = 18x̄₂ = 50s₂ = 7,595%t(29) = 2,045

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 8 студентів, середній бал 61, стандартне відхилення 12. Група 2: 13 студентів, середній бал 65,4, стандартне відхилення 6,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 8x̄₁ = 61s₁ = 12n₂ = 13x̄₂ = 65,4s₂ = 6,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 19. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 5σ = 19z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 141?

n = 6ŷ = 141

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,62

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 220/7 = 31,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8,571² + 16,57² + (−4,429)² + (−5,429)² + (−20,43)² + (−5,429)² + 10,57² = 955,7

Стандартне відхилення

s = √(955,7/6) = 12,62

Відповідь

s = 12,62

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,488

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,35 + 5·0,15 = 3,25

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,35 + 25·0,15 = 12,05

Дисперсія

Var(X) = 12,05 − 3,25² = 1,488

Відповідь

Var(X) = 1,488

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −1,5 €

Чисті результати

G: 9 (p = 0,1), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)

Математичне сподівання

E(G) = 9·0,1 + 27·0,01 − 3·0,89 = −1,5 €

Відповідь

E(G) = −1,5 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,5

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8664)/2 = 0,9332

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9332 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,50

Відповідь

z = 1,50

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 73,4 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 балів

Відповідь

x = 73,4 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 7,991

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·15/√16 = 7,991

Відповідь

E = 7,991

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,301 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (12·1² + 17·7,5²)/29 = 33,39

s_p = 5,778

Похибка оцінки

E = 2,045·5,778·√(1/13 + 1/18) = 4,301

Відповідь

E = 4,301 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,097

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (7·12² + 12·6,5²)/19 = 79,74

s_p = 8,93

Стандартна похибка

SE = 8,93·√(1/8 + 1/13) = 4,013

Статистика критерію

t = (61 − 65,4)/4,013 = −1,097

Відповідь

t = −1,097

При df = 19 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,093; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 145

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·19/5)² = 144,9

Округліть угору

n = 145

Відповідь

n = 145

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9774

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 113/5 = 22,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 107,2

Коефіцієнт кореляції

r = −32/√(10·107,2) = −0,9774

Відповідь

r = −0,9774

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 28,55

Середні

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 737/6 = 122,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 937,5

Лінія регресії

b = 937,5/157,5 = 5,952

a = 122,8 − 5,952·25,5 = −28,95

ŷ = −28,95 + 5,952·x

Розв’яжіть щодо x

x = (141 − (−28,95))/5,952 = 28,55

Відповідь

x = 28,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1