Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 20, 44, 54, 51.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 67,5.

μ = 70σ = 5x = 67,5

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,1 і €20 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€2: p = 0,1€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 25,1 і 35 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 35

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 30 елементів має середнє 119,5 і стандартне відхилення s = 6,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 119,5s = 6,595%t(29) = 2,045

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,6 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?

p ≈ 0,6E = 0,0495%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 16. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 101,84. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 16n = 64x̄ = 101,84H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 190%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 105Σy = 344Σx² = 2295Σy² = 24718Σxy = 7524

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (15,5, 99). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(15,5, 99)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,52

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 216/5 = 43,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3,8² + (−23,2)² + 0,8² + 10,8² + 7,8² = 730,8

Стандартне відхилення

s = √(730,8/4) = 13,52

Відповідь

s = 13,52

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (67,5 − 70)/5 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсія

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,6 €

Чисті результати

G: 1 (p = 0,1), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Математичне сподівання

E(G) = 1·0,1 + 19·0,01 − 1·0,89 = −0,6 €

Відповідь

E(G) = −0,6 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5664

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−1,15) = 0,6915 − 0,1251 = 0,5664

Відповідь

P = 0,5664

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 187 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Відповідь

x = 186,97 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,427

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Похибка оцінки

E = 2,045·6,5/√30 = 2,427

Відповідь

E = 2,427

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 577

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,04² = 576,2

Округліть угору

n = 577

Відповідь

n = 577

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,3576

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 16/√64 = 2

z = (101,84 − 100)/2 = 0,92

Площа хвоста

Φ(0,92) = 0,8212

1 − Φ(0,92) = 0,1788

p-значення

p = 2·0,1788 = 0,3576

Відповідь

p = 0,3576

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 44

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Округліть угору

n = 44

Відповідь

n = 44

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9755

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 7524 − 105·344/5 = 300

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 24718 − 344²/5 = 1051

Коефіцієнт кореляції

r = 300/√(90·1051) = 0,9755

Відповідь

r = 0,9755

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,105

Середні

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 784/6 = 130,7

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 939

Лінія регресії

b = 939/157,5 = 5,962

a = 130,7 − 5,962·21,5 = 2,486

ŷ = 2,486 + 5,962·x

Прогнозоване значення

ŷ = 2,486 + 5,962·15,5 = 94,9

Залишок

e = 99 − 94,9 = 4,105

Відповідь

e = 4,105

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1