Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 25, 54, 52, 44, 18, 32.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 44.

μ = 60σ = 20x = 44

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,6

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 70,75 і 130 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 130

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 12 елементів має середнє 20 і стандартне відхилення s = 15. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 12x̄ = 20s = 1595%t(11) = 2,201

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 15 ділянок, середній урожай 14 kg, стандартне відхилення 2 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 11,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 14s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 11,5s₂ = 995%t(19) = 2,093

нижня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 49, стандартне відхилення 7,5. Група 2: 10 студентів, середній бал 57,3, стандартне відхилення 2,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 7x̄₁ = 49s₁ = 7,5n₂ = 10x̄₂ = 57,3s₂ = 2,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 12E = 299%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 110Σx² = 91Σy² = 2116Σxy = 344

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 15). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 15)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,77

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 225/6 = 37,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 16,5² + 14,5² + 6,5² + (−19,5)² + (−5,5)² = 1092

Стандартне відхилення

s = √(1092/5) = 14,77

Відповідь

s = 14,77

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (44 − 60)/20 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,247

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,45

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,2 = 7,25

Дисперсія

Var(X) = 7,25 − 2,45² = 1,247

Відповідь

Var(X) = 1,247

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,01884

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Додайте

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Відповідь

P = 0,01884

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9517

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,95) = 0,9772 − 0,02559 = 0,9517

Відповідь

P = 0,9517

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 52,18 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 балів

Відповідь

x = 52,18 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 9,531

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Похибка оцінки

E = 2,201·15/√12 = 9,531

Відповідь

E = 9,531

8.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −2,48 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (14·2² + 5·9²)/19 = 24,26

s_p = 4,926

Похибка оцінки

E = 2,093·4,926·√(1/15 + 1/6) = 4,98

Інтервал

2,5 ± 4,98 → [−2,48, 7,48]

Відповідь

нижня межа = −2,48 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,287

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (6·7,5² + 9·2,5²)/15 = 26,25

s_p = 5,123

Стандартна похибка

SE = 5,123·√(1/7 + 1/10) = 2,525

Статистика критерію

t = (49 − 57,3)/2,525 = −3,287

Відповідь

t = −3,287

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 239

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·12/2)² = 238,9

Округліть угору

n = 239

Відповідь

n = 239

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9834

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 344 − 21·110/6 = −41

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2116 − 110²/6 = 99,33

Коефіцієнт кореляції

r = −41/√(17,5·99,33) = −0,9834

Відповідь

r = −0,9834

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,35

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Лінія регресії

b = −19/10 = −1,9

a = 21,2 − (−1,9)·3 = 26,9

ŷ = 26,9 − 1,9·x

Прогнозоване значення

ŷ = 26,9 + (−1,9)·4,5 = 18,35

Залишок

e = 15 − 18,35 = −3,35

Відповідь

e = −3,35

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1