Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 40, 22, 21, 48.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 74,8.

μ = 70σ = 8x = 74,8

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 8

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €5 з імовірністю 0,15 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€5: p = 0,15€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 500 і 572 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 572

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 81,5 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 77,5 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 81,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 77,5 hσ₂ = 3 h99%

верхня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 30E = 2,590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 16. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 497,56. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 500σ = 16n = 64x̄ = 497,56H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 86,2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 80μ = 86,2σ = 10n = 25α = 0,01

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 10). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(3, 10)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 185/5 = 37

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 17² + 3² + (−15)² + (−16)² + 11² = 900

Стандартне відхилення

s = √(900/4) = 15

Відповідь

s = 15

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (74,8 − 70)/8 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7674

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Відповідь

P = 0,7674

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,75 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 4 (p = 0,15), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,15 + 49·0,02 − 1·0,83 = 0,75 €

Відповідь

E(G) = 0,75 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4641

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641

Відповідь

P = 0,4641

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9616

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Відповідь

P = 0,9616

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 7,768 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 81,5 − 77,5 = 4

Стандартна похибка

SE = √(14²/100 + 3²/50) = 1,463

Похибка оцінки

E = 2,576·1,463 = 3,768

Інтервал

4 ± 3,768 → [0,2316, 7,768]

Відповідь

верхня межа = 7,768 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 390

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·30/2,5)² = 389,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 390

Відповідь

n = 390

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,1112

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 16/√64 = 2

z = (497,56 − 500)/2 = −1,22

Площа хвоста

Φ(1,22) = 0,8888

1 − Φ(1,22) = 0,1112

p-значення

p = 0,1112

Відповідь

p = 0,1112

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 21,95 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 80 + 2,326·2 = 84,65

z при справжньому середньому

z = (84,65 − 86,2)/2 = −0,774

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,774) = 78,05%

β = 100% − 78,05% = 21,95%

Відповідь

β = 21,95%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9908

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 461/5 = 92,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 408

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1867

Коефіцієнт детермінації

r² = 408²/(90·1867) = 0,9908

Відповідь

r² = 0,9908

Близько 99,08% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,205

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 179/6 = 29,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291

Лінія регресії

b = 291/70 = 4,157

a = 29,83 − 4,157·7 = 0,7333

ŷ = 0,7333 + 4,157·x

Прогнозоване значення

ŷ = 0,7333 + 4,157·3 = 13,2

Залишок

e = 10 − 13,2 = −3,205

Відповідь

e = −3,205

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1