Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 19, 58, 17, 21, 53, 40.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 80?
μ = 70σ = 10x = 80
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€25: p = 0,15€100: p = 0,05
E(G) = €
5.Нормальний розподілСередня
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 237,1 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6> 237,1 g
P =
6.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 60% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 88 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 88s = 799%t(9) = 3,25
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 61 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 61,5 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 61s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 61,5s₂ = 2,595%t(10) = 2,228
нижня межа = kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 120,7 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,7s = 4n = 16
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 54,5. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 50μ = 54,5σ = 12n = 64α = 0,10
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 21Σy = 183Σx² = 91Σy² = 5747Σxy = 692
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 22). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 22)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 18,18
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 208/6 = 34,67
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−15,67)² + 23,33² + (−17,67)² + (−13,67)² + 18,33² + 5,333² = 1653
Стандартне відхилення
s = √(1653/5) = 18,18
Відповідь
s = 18,18
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8413
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,14
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,6
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,9
Дисперсія
Var(X) = 7,9 − 2,6² = 1,14
Відповідь
Var(X) = 1,14
4.Імовірність
Відповідь: E(G) = 3,75 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 20 (p = 0,15), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
Математичне сподівання
E(G) = 20·0,15 + 95·0,05 − 5·0,8 = 3,75 €
Відповідь
E(G) = 3,75 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g
Стандартизуйте
z = (237,1 − 240)/2,939 = −0,99
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,99) = 0,8389
Відповідь
P = 0,8389
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 510 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,6
z з таблиці
z ≈ 0,25
Назад до початкових одиниць
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Відповідь
x = 510 h
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 95,19
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Похибка оцінки
E = 3,25·7/√10 = 7,194
Інтервал
88 ± 7,194 → [80,81, 95,19]
Відповідь
верхня межа = 95,19
8.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −9,334 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (6·8,5² + 4·2,5²)/10 = 45,85
sp = 6,771
Похибка оцінки
E = 2,228·6,771·√(1/7 + 1/5) = 8,834
Інтервал
−0,5 ± 8,834 → [−9,334, 8,334]
Відповідь
нижня межа = −9,334 kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Статистика критерію
t = (120,7 − 120)/1 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 95,71 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 50 + 1,282·1,5 = 51,92
z при справжньому середньому
z = (51,92 − 54,5)/1,5 = −1,718
Потужність
потужність = P(Z > −1,718) = 95,71%
1 − β = 95,71%
Відповідь
1 − β = 95,71%
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9569
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 692 − 21·183/6 = 51,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 5747 − 183²/6 = 165,5
Коефіцієнт кореляції
r = 51,5/√(17,5·165,5) = 0,9569
Відповідь
r = 0,9569
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,4
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 80/5 = 16
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Лінія регресії
b = −32/10 = −3,2
a = 16 − (−3,2)·3 = 25,6
ŷ = 25,6 − 3,2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 25,6 + (−3,2)·2,5 = 17,6
Залишок
e = 22 − 17,6 = 4,4
Відповідь
e = 4,4
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1