Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
25303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 24, 59, 52, 37, 39, 21.

n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 75. Яка частка P значень більша за 575?

μ = 500σ = 75x = 575
P =
3.ІмовірністьСередня
n = 14k = 5N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 5
N =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,2520,240,2560,3μ

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3Y = 2X + 20
σY =
5.Нормальний розподілСередня
125 kg126,7 kgT = X₁ + … + X₅?

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 126,7 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,7 kg
P =
6.Нормальний розподілСкладна
10 cm0X − Y?

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 25, s = 19LUx̄ = 115,5E = ?90%

Вибірка з 25 елементів має середнє 115,5 і стандартне відхилення s = 19. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 115,5s = 1990%t(24) = 1,711
E =
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 490%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 26. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 26E = 490%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,06402,064

Вибірка з 25 студентів має середній бал 80,76 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 80,76s = 12n = 25
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1α = 0,01βσ = 7, потужність 80%, n = ?

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 7. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 1σ = 7zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy274166238321042xy5102040

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 120Σx² = 220Σy² = 3622Σxy = 892
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy138248350447553xy24404550x = 2,5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 42). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 42)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,98

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 232/6 = 38,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,67)² + 20,33² + 13,33² + (−1,667)² + 0,3333² + (−17,67)² = 1121

Стандартне відхилення

s = √(1121/5) = 14,98

Відповідь

s = 14,98
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587
3.Імовірність

Відповідь: N = 2002

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

Відповідь

N = 2002
4.Імовірність

Відповідь: σY = 4,63

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 3,2, Var(X) = 5,36, σX = 2,315

Лінійна зміна

σY = |2|·2,315 = 4,63

Відповідь

σY = 4,63

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·3,2 + 20 = 26,4.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06426

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μT = 125 kg, σT = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (126,7 − 125)/1,118 = 1,52

Імовірність

P = 1 − Φ(1,52) = 0,06426

Відповідь

P = 0,06426
6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,502

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Похибка оцінки

E = 1,711·19/√25 = 6,502

Відповідь

E = 6,502
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 115

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·26/4)² = 114,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 115

Відповідь

n = 115
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Статистика критерію

t = (80,76 − 75)/2,4 = 2,4

Відповідь

t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 492

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·7/1)² = 491,8

Округліть угору

n = 492

Відповідь

n = 492
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9984

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 892 − 30·120/5 = 172
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3622 − 120²/5 = 742

Коефіцієнт кореляції

r = 172/√(40·742) = 0,9984

Відповідь

r = 0,9984
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,75

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 236/5 = 47,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29

Лінія регресії

b = 29/10 = 2,9
a = 47,2 − 2,9·3 = 38,5
ŷ = 38,5 + 2,9·x

Прогнозоване значення

ŷ = 38,5 + 2,9·2,5 = 45,75

Залишок

e = 42 − 45,75 = −3,75

Відповідь

e = −3,75

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1